[题解]CF1990E2 Catch the Mole(Hard Version)

思路

我们先随便选择一个叶子结点，查询 $B$ 次。如果是返回的结果是 $1$，说明鼹鼠就在这个叶子结点；否则它将向上跳 $B$ 次。

此时，我们得到一个关键结论，如果一棵子树最大深度小于等于 $B$，那么鼹鼠一定不在这棵子树中，因为鼹鼠无论如何都跳了 $B$ 次。

我们希望找到鼹鼠行动的链，找到了就可以直接二分找到其位置。

令当前到达的节点为 $u$，查询所有 $u$ 的子节点 $v$，并把最大深度小于等于 $B$ 的子树跳掉。当 $v$ 查询出来过后结果为 $1$，说明此时鼹鼠在 $v$ 子树中，向下递归即可。

但是，这样 naive 的想法显然是有问题的，可以被链给创飞。

观察到，当我们即将查询 $u$ 的最后一个满足最大深度大于 $B$ 的子树时，前面所有的子树都不行，那么鼹鼠一定在 $v$ 子树。

这样做的好处就是，每一次递归都会减少一个深度大于 $B$ 的子树，那么最多只会查询 $\frac{n}{B}$ 次。

接下来就只需要在我们找到的这条链上二分即可。

查询次数是 $B + \frac{n}{B} + \log n$ 的，当 $B = \sqrt{n}$ 时取得最小值 $2\sqrt{n} + \log n$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register

using namespace std;

const int N = 5010;
int n,B;
int d[N];
vector<int> v,g[N];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

inline bool ask(int u){
    printf("? %d\n",u); fflush(stdout);
    return read();
}

inline void print(int u){
    printf("! %d\n",u); fflush(stdout);
}

inline void dfs1(int u,int fa){
    d[u] = 1;
    for (int v:g[u]){
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v,u); d[u] = max(d[u],d[v] + 1);
    }
}

inline void dfs2(int u,int fa){
    v.push_back(u);
    vector<int> s;
    for (int v:g[u]){
        if (v == fa || d[v] <= B) continue;
        s.push_back(v);
    }
    for (re int i = 1;i < s.size();i++){
        int v = s[i];
        if (ask(v)) return dfs2(v,u);
    }
    if (!s.empty()) dfs2(s.front(),u);
}

inline void solve(){
    v.clear();
    n = read(); B = sqrt(n);
    fill(d + 1,d + n + 1,0);
    for (re int i = 1;i <= n;i++) g[i].clear();
    for (re int i = 1,a,b;i < n;i++){
        a = read(),b = read();
        g[a].push_back(b); g[b].push_back(a);
    }
    for (re int i = 2;i <= n;i++){
        if (g[i].size() == 1){
            for (re int j = 1;j <= B;j++){
                if (ask(i)) return print(i);
            }
            break;
        }
    }
    dfs1(1,0); dfs2(1,0);
    int l = 0,r = v.size() - 1;
    while (l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (ask(v[mid])) l = mid;
        else{
            r = max(0,mid - 2);
            if (l) l--;
        }
    }
    print(v[l]);
}

int main(){
    int T; T = read();
    while (T--) solve();
    return 0;
}