[题解]CF958C3 Encryption (hard)

思路

先考虑 $\Theta(n^2k)$ 的暴力 DP。

定义 $dp_{i,j}$ 表示在前 $i$ 个数中选取 $j$ 个的最小和，转移显然：

$$dp_{i,j} = \min_{1 \leq k < i}\{dp_{k,j - 1} + s_{k + 1,i} \bmod p\}$$

注意到一个性质：$dp_{i,j} \equiv s_i \pmod p$。因为前者是前 $i$ 项分为若干段的模 $p$ 下的和，与后者显然在模 $p$ 意义下同余。

对于 $dp_{i,j}$ 的两个转移的位置 $k_1,k_2$，计算出的结果分别是，$dp_{k_1,j - 1} + s_{k_1 + 1,i} \bmod p$ 与 $dp_{k_2,j - 1} + s_{k_2 + 1,i} \bmod p$。并且有：

$$dp_{k_1,j - 1} + s_{k_1 + 1,i} \bmod p \equiv dp_{k_2,j - 1} + s_{k_2 + 1,i} \bmod p \pmod p$$

假设 $dp_{k_1,j - 1} < dp_{k_2,j - 1}$，由于 $s_{k_1 + 1,i} \bmod p$ 与 $s_{k_2 + 1,i} \bmod p$ 一定小于 $p$，所以前者一定小于后者。

这样，对于每一个 $j$，记录最小的 $dp_{i,j}$ 即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define int long long

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10,M = 110;
int n,m,p;
int arr[N],s[N];
int dp[N][M],f[M];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

#define sum(l,r) ((s[r] - s[l - 1]) % p)

signed main(){
    n = read(),m = read(),p = read();
    for (re int i = 1;i <= n;i++) s[i] = s[i - 1] + (arr[i] = read());
    for (re int i = 1;i <= n;i++){
        for (re int j = 1;j <= min(i,m);j++) dp[i][j] = dp[f[j - 1]][j - 1] + sum(f[j - 1] + 1,i);
        for (re int j = 1;j <= min(i,m);j++){
            if (!f[j] || dp[f[j]][j] > dp[i][j]) f[j] = i;
        }
    }
    printf("%lld",dp[n][m]);
    return 0;
}