[题解]UVA12627 奇怪的气球膨胀 Erratic Expansion

思路

这题是一道非常好的递归分治题。

首先我们需要读懂题目。题目说：$1$ 小时内，$1$ 红可以变成 $3$ 红 + $1$ 蓝，$1$ 蓝可以变成 $4$ 蓝，问：第 $k$ 小时，$A \sim B$ 行中有几个红。

然后，我们可以预处理一下第 $k$ 个小时，总共的红气球的数量，即 $3^k$ 个。

其次，我们定义一个 $f(k,x)$ 函数，表示第 $k$ 小时，$1 \sim x$ 红球的总数。

我们来看一下 $f$ 函数是怎么实现这个功能的。

这个函数的边界有两个：

1. $x \leq 0$ 时，返回 $0$。
2. $k = 0$ 时，返回 $1$。

这两点想必大家都没有问题。

最重要的地方来了，我们可以将函数分为两种情况。

1. 如果 $x$ 在上半部分，即：$x \leq 2^{k - 1}$，就要返回 $f(k - 1,x) \times 2$。
2. 否则，就要返回 $f(k - 1,x - 2 ^ {k - 1}) + 2 \times r_{k - 1}$。

最后，输出的时候用一个类似于前缀和的思路即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
  
using namespace std;  
  
int T,opt,k,a,b;  
int r[35];  
  
int f(int k,int x){// f 函数   
    if (x <= 0) return 0;//两个边界   
    if (k == 0) return 1;  
    if (x <= 1 << k - 1) return f(k - 1,x) * 2;//两种情况   
    return f(k - 1,x - (1 << k - 1)) + 2 * r[k - 1];  
}  
  
signed main(){  
    ios::sync_with_stdio(0);  
    cin.tie(0);  
    cout.tie(0);  
    r[0] = 1;//预处理   
    for (int i = 1;i <= 30;i++) r[i] = r[i - 1] * 3;  
    cin >> T;  
    while (T--){  
        cin >> k >> a >> b;//输入   
        cout << "Case " << ++opt << ": " << f(k,b) - f(k,a - 1) << endl;//输出   
    }  
    return 0;  
}