[题解]SP90 MINIMAX - Minimizing maximizer

题意

给定 $m$ 个小区间，对于一个小区间 $i$ 可以覆盖 $[l_i,r_i]$。

现有一个区间 $[1,n]$，现要将这 $m$ 个小区间放在大区间上，使它们线段覆盖大区间。

求：最少选择多少个小区间才能满足条件。

思路

考虑 DP。

定义 $dp_i$ 表示某一个区间覆盖至 $i$ 的最少数量。

那么，对于每一个小区间，都有（其中 $l_i < i < r_i$）：

$$dp_{r_i} = \min\{dp_j\} + 1$$

很明显，如果普通 DP，时间复杂度 $\Theta(nm)$，过不了，考虑优化。

其实，状态转移方程中 $\min\{dp_j\}$，本质上就是一个 RMQ，用线段树维护一下 $dp$ 数组的最小值即可。

注意：

1. DP 的起点 $dp_1 \leftarrow 0$。
2. 有可能会存在 $r_i = r_j \wedge i \neq j$，所以，在 DP 过程中，每一次更新 $dp$ 数组的值，都要取 $\min$。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 5e4 + 10,inf = 1e9 + 10;  
int T,n,m;  
  
struct seg{  
    #define ls(u) (u << 1)  
    #define rs(u) (u << 1 | 1)  
  
    struct node{  
        int l;  
        int r;  
        int Min;  
    }tr[N << 2];  
  
    inline void pushup(int u){  
        tr[u].Min = min(tr[ls(u)].Min,tr[rs(u)].Min);  
    }  
  
    inline void build(int u,int l,int r){  
        tr[u] = {l,r,inf};  
        if (l == r) return;  
        int mid = l + r >> 1;  
        build(ls(u),l,mid);  
        build(rs(u),mid + 1,r);  
        pushup(u);  
    }  
  
    inline void modify(int u,int l,int r,int k){  
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r){  
            tr[u].Min = min(tr[u].Min,k);  
            return;  
        }  
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;  
        if (l <= mid) modify(ls(u),l,r,k);  
        if (r > mid) modify(rs(u),l,r,k);  
        pushup(u);  
    }  
  
    inline int query(int u,int l,int r){  
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].Min;  
        int res = inf;  
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;  
        if (l <= mid) res = min(res,query(ls(u),l,r));  
        if (r > mid) res = min(res,query(rs(u),l,r));  
        return res;  
    }  
  
    #undef ls  
    #undef rs  
}tree;  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
int main(){  
    T = read();  
    while (T--){  
        n = read();  
        m = read();  
        tree.build(1,1,n);  
        tree.modify(1,1,1,0);  
        for (re int i = 1;i <= m;i++){  
            int l,r;  
            l = read();  
            r = read();  
            tree.modify(1,r,r,tree.query(1,l,r) + 1);  
        }  
        printf("%d\n",tree.query(1,n,n));  
    }  
    return 0;  
}