[题解]P2810 Catch the theives

简化版题意

有一个四元组：$(x,xk,xk ^ 2,xk ^ 3)$ 满足以下条件：

1. $k > 1$
2. $x \leq m$
3. $xk \leq m$
4. $xk ^ 2 \leq m$
5. $xk ^ 3 \leq m$

现在给定满足条件的四元组的个数 $n$，求：最小的 $m$ 是多少？

思路

$\because x \leq xk \leq xk ^ 2 \leq xk ^ 3 \leq m$

$\therefore \text{满足条件的四元组只与} xk ^ 3 \text{有关}$

我们的 $f$ 函数，就可以枚举 $k$，那么对于每一个合法的 $xk ^ 3$，那么它的贡献为 $\lfloor \frac{m}{k ^ 3} \rfloor$。

此时，我们可以用上二分答案的方法，来枚举 $m$。

但是，这题的答案很奇怪，它是求满足条件 $m$ 的最小值。

因此，我们可以求出方案数小于 $n$ 的最大的 $m$，然后判断一下 $m + 1$ 的方案数是否等于 $n$。

如果是直接输出 $m + 1$，否则输出 -1。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
  
using namespace std;  
  
int n,ans;  
  
int f(int x){  
    int res = 0;  
    for (int i = 2;i * i * i <= x;i++) res += x / (i * i * i);//枚举 k 算出方案数   
    return res;  
}  
  
signed main(){  
    cin >> n;  
    int l = 1;  
    int r = 5e15 + 10;  
    while (l <= r){//二分模板   
        int mid = l + r >> 1;  
        if (f(mid) < n){  
            ans = mid;  
            l = mid + 1;  
        }  
        else r = mid - 1;  
    }  
    if (f(ans + 1) == n) cout << ans + 1;//判断   
    else puts("-1");  
    return 0;  
}