[题解]GYM 100506C Cutting Banknotes

题意

给定一个数 $x$，以及 $n$ 种不同面值的钞票 $a_i$。（其中 $x$ 可能是一个小数，但是 $a_i$ 一定是整数）

你可以将 $a_i$ 除以 $2$，得到新的面值。

如果你能通过这种方式，能够凑出 $x$，输出 yes，否则输出 no。

思路

首先，有一个显然的结论：如果 $x$ 不是形如 $a.00,a.25,a.50,a.75$ 的数，那么一定无解。

剩下的我的第一反应是一个完全背包。

首先将 $a_i$ 一直除以 $2$，直到不能被 $2$ 整除，再除以 $8$。

这样一定能保证新的 $a_i$ 能够取若干个得到原来的 $a_i$，使得结果不变。

但是，这样的处理会产生小数，所以用了一个 unordered_map 来搞。

显然，这样时间复杂度为错。

那么考虑将原本的 $x$ 乘上 $8$，这样能保证结果不变，且时间复杂度少 $\Theta(\log n)$。

但是，有一组 hack。

这组数据明显是输出 yes，因为 $5 + 11 = 16$，$16$ 能够通过一直除以 $2$ 得到 $1$。但是，按照这种思路会输出 no。

那么，我们将值域开大一点，改为 $x \times 64$ 就行。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 1010,M = 1e6 + 10;  
const double eps = 1e-6;  
int T,n,m;  
int arr[N];  
bool dp[M];  
double x;  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline bool cmp(double a,double b){  
    return (fabs(a - b) <= eps);  
}  
  
inline bool check(double x){  
    int A = x;  
    double B = x - A;  
    return (cmp(B,0.0) || cmp(B,0.25) || cmp(B,0.5) || cmp(B,0.75));  
}  
  
int main(){  
    T = read();  
    while (T--){  
        memset(dp,false,sizeof(dp));  
        dp[0] = true;  
        scanf("%lf",&x);  
        n = read();  
        m = x * 64;  
        if (!check(x)){//特判无解   
            puts("no");  
            for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();  
            continue;  
        }  
        for (re int i = 1;i <= n;i++){  
            arr[i] = read();  
            while (!(arr[i] & 1)) arr[i] >>= 1;//处理新的值   
        }  
        sort(arr + 1,arr + n + 1);  
        int nn = unique(arr + 1,arr + n + 1) - arr - 1;//离散化，经试验在一般情况下能将 n 个元素降低为 n / 2 个元素   
        for (re int i = 1;i <= nn;i++){//完全背包   
            for (re int j = arr[i];j <= m;j++) dp[j] |= dp[j - arr[i]];  
            if (dp[m]) break;  
        }  
        if (dp[m]) puts("yes");  
        else puts("no");  
    }  
    return 0;  
}