[题解]CF1712E1 LCM Sum (easy version)

思路

这是一道极好的思维题，主要考察了：组合数学和正难则反的方法。

这题可以发现如果用直接法将十分的繁琐，于是乎，我们可以用正难则反的方法，即：总的减去不满足的。

这道题总的很好求，为：$C_{r - l + 1}^{3}$。

不满足的情况，我们就可以将题目转化为：$\operatorname{lcm}(i,j,k) < i + j + k$ 的个数。

因为 $l \leq i < j < k \leq r$，所以 $\operatorname{lcm}{(i,j,k)} < 3k$。

又因为 $k$ 必定是 $\operatorname{lcm}{(i,j,k)}$ 的因数，所以，我们的情况就可以分为二种。

1. $\operatorname{lcm}{(i,j,k)} = k$。
2. $\operatorname{lcm}{(i,j,k)} = 2k$。

第一种情况时，我们可以枚举 $k$ 在区间 $[l,r]$ 中不为本身的约数的个数，我们令这个数为：$cnt$。那么它的贡献就为：$C_{cnt}^2$。

第二种情况时，只有为 $(3,4,6)$ 和 $(6,10,15)$ 的整数倍时，才会有成立。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
int T,l,r,ans;  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    T = read();  
    while (T--){  
        ans = 0;  
        l = read();  
        r = read();  
        for (re int k = l + 2;k <= r;k++){//因为 i < j < k，所以 k 要从 l + 2 开始枚举   
            int cnt = 0;  
            for (re int i = 1;i * i <= k;i++){//只用枚举到 sqrt(k)，因为对于 k 的约数，最大只会到 sqrt(k)。为了避免浮点数丢失精度，要用乘法   
                if (!(k % i)){  
                    if (i >= l) cnt++;  
                    if (i != 1 && i * i != k && (k / i) >= l) cnt++;//注意不要把自己算进去了   
                }  
            }  
            cnt = cnt * (cnt - 1) >> 1;  
            ans += cnt;  
        }  
        for (re int i = 1;i <= r;i++){  
            if (l <= 3 * i && 6 * i <= r) ans++;//判断是否在区间当中   
            if (l <= 6 * i && 15 * i <= r) ans++;  
        }  
        ans = (r - l + 1) * (r - l) / 2 * (r - l - 1) / 3 - ans;  
        printf("%lld\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}