[题解]CF1704D Magical Array

题意

给定 $n$ 个长度为 $m$ 的数组，对于每一个数组选择下面任意一种操作进行若干次（操作二只能被一个数组选出）。

1. $c_{t,i} - 1,c_{t,i - 1} + 1,c_{t,j} - 1,c_{t,j - 1} + 1$。
2. $c_{t,i} - 1,c_{t,i - 1} + 1,c_{t,j} - 1,c_{t,j - 2} + 1$。

最后输出选择操作二的数组的编号，及其使用操作二的次数。

思路

我们不难发现一个普遍性的规律。

如果已知操作一号的数组，操作前和操作后的 $\sum_{i = 1}^{i \leq m}c_{t,i} \times i$ 是不变的。

原因如下：

我们直接看有变化的部分即可。

操作前：$c_{t,i - 1} \times (i - 1) + c_{t,i} \times i + c_{t,j - 1} \times (j - 1) + c_{t,j} \times j$。

操作后：$(c_{t,j - 1} - 1) \times (i - 1) + (c_{t,i} + 1) \times i + (c_{t,j - 1} - 1) \times (j - 1) + (c_{t,j} + 1) \times i$。

我们将上式化简：$c_{t,i - 1} \times (i - 1) + c_{t,i} \times i + c_{t,j - 1} \times (j - 1) + c_{t,j} \times j$。

发现两式相等，证毕。

我们可以通过这一点，用 $s$ 维护一个 $c_{t,i} \times i$ 的前缀和，来寻找出这个与众不同的数组。

这里还有一个奇妙的规律，需要大家去体会体会。

就是，那个选择操作二的数组的操作次数一定是：$\max(s_i) - \min(s_i)$。

因为，我们上文说过，选择操作一的 $\sum_{i = 1}^{i \leq m}c_{t,i} \times i$ 不变，那么，我们再根据上面的推导过程再次推导一遍可以发现，没操作一次操作二，对于我们的 $\sum_{i = 1}^{i \leq m}c_{t,i} \times i$ 每次加 $1$。

因此，我们就得出了上面的结论。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 1e5 + 10,inf = 1e18 + 10;  
int T,n,m;  
int s[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    T = read();  
    while (T--){  
        int Max = -inf,Min = inf;  
        memset(s,0,sizeof(s));//初始化   
        n = read();  
        m = read();  
        for (re int i = 1;i <= n;i++){  
            for (re int j = 1;j <= m;j++){  
                int x;  
                x = read();  
                s[i] += x * j;//前缀和   
            }  
            Max = max(Max,s[i]);//最大值   
            Min = min(Min,s[i]);//最小值   
        }  
        for (re int i = 1;i <= n;i++){  
            if (Max == s[i]){//输出答案   
                printf("%lld %lld\n",i,Max - Min);  
                break;  
            }  
        }  
    }  
    return 0;  
}