[题解]CF1665E MinimizOR

思路

发现 $2^k$ 大的数，最终的答案一定由前 $k + 1$ 小的元素组成。

考虑数学归纳法，显然当 $k = 1$ 成立。假令 $k'$ 时成立，证明 $k = k' + 1$ 时成立即可：

1. 若第 $k$ 位有两个及以上的 $0$，显然最终答案的第 $k$ 位一定为 $0$，因此考虑前面的 $k - 1$ 位，显然取前 $k + 1$ 小的数是对的。

2. 若第 $k$ 位只有一个 $0$，显然最终答案的第 $k$ 位一定为 $1$，因此考虑前面的 $k - 1$ 位，显然取前 $k + 1$ 小的数成立。

3. 若第 $k$ 位没有 $0$，显然最终答案的第 $k$ 位一定为 $1$，考虑前 $k - 1$ 位，显然取前 $k + 1$ 小的数可以。

因此我们不妨使用线段树维护区间前 $31$ 小。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define int long long

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10,inf = (int)(1e18) + 10;
int n,q;
int arr[N];
vector<int> emp;

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

struct seg{
    #define ls(u) (u << 1)
    #define rs(u) (u << 1 | 1)
    
    struct value{
        vector<int> v;

        value friend operator +(const value &a,const value &b){
            value v;
            for (auto x:a.v) v.v.push_back(x);
            for (auto x:b.v) v.v.push_back(x);
            sort(v.v.begin(),v.v.end());
            while (v.v.size() > 31) v.v.pop_back();
            return v;
        }
    };

    struct node{
        int l,r;
        value val;
    }tr[N << 2];

    inline void pushup(int u){
        tr[u].val = tr[ls(u)].val + tr[rs(u)].val;
    }

    inline void build(int u,int l,int r){
        tr[u] = {l,r,{emp}};
        if (l == r) return tr[u].val.v.push_back(arr[l]),void();
        int mid = l + r >> 1;
        build(ls(u),l,mid),build(rs(u),mid + 1,r);
        pushup(u);
    }

    inline auto query(int u,int l,int r){
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].val;
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        value res = {emp};
        if (l <= mid) res = res + query(ls(u),l,r);
        if (r > mid) res = res + query(rs(u),l,r);
        return res;
    }

    #undef ls
    #undef rs
}T;

inline void solve(){
    n = read();
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();
    T.build(1,1,n);
    q = read();
    while (q--){
        int l,r,ans = inf;
        l = read(),r = read();
        vector<int> res = T.query(1,l,r).v;
        int len = res.size();
        for (re int i = 0;i < len;i++){
            for (re int j = i + 1;j < len;j++) ans = min(ans,res[i] | res[j]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

signed main(){
    int T;
    T = read();
    while (T--) solve();
    return 0;
}