[题解]CF1061C Multiplicity

题意

给定一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$。现在要在 $a$ 选出非空子序列 $\{b_1,b_2,\dots,b_m\}$，使得所有的 $i \in [1,m]$，都有 $b_i \bmod i = 0$。

求能够选取 $b$ 序列的方案数模 $10^9 + 7$ 的值。

思路

定义 $dp_{i,j}$ 表示在 $\{a_1,a_2,\dots,a_i\}$ 中，选取 $\{b_1,b_2,\dotsm,b_j\}$ 的方案数。

不难得出状态转移方程：

$$dp_{i,j}\left\{\begin{matrix} dp_{i - 1,j} + dp_{i - 1,j - 1} & (a_i \bmod j = 0)\\ dp_{i - 1,j} & (a_i \bmod j \neq 0) \end{matrix}\right.$$

如果直接暴力 DP，时空复杂度均为 $\Theta(n^2)$，过不了，考虑优化。

首先，可以滚动数组，使空间复杂度为 $\Theta(n)$。

然后，不难发现，对于 $a_i$ 能产生贡献，当且仅当 $a_i \bmod i = 0$。

所以，对于我们 DP 过程中的 $j$ 只能是 $a_i$ 的因数。因此，可以在转移 $dp_i$ 之前，求出 $a_i$ 的因数，然后再转移即可。

时间复杂度 $\Theta(n \sqrt{n})$；空间复杂度 $\Theta(n)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 1e5 + 10,M = 1e6 + 10,mod = 1e9 + 7;  
int n,ans;  
int arr[N],dp[M];// DP 数组应该开 1e6，因为我们枚举的质因数有 1e6 的情况   
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    dp[0] = 1;  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        vector<int> v;  
        for (re int j = 1;j * j <= arr[i];j++){  
            if (arr[i] % j == 0){  
                v.push_back(j);  
                if (j * j != arr[i]) v.push_back(arr[i] / j);  
            }  
        }  
        sort(v.begin(),v.end(),[](auto const a,auto const b){  
            return a > b;  
        });//滚动数组应倒序更新   
        for (auto j:v) dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1]) % mod;  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) ans = (ans + dp[i]) % mod;  
    printf("%lld",ans);  
    return 0;  
}