[题解]CF311B Cats Transport

思路

首先，对于每一只小猫刚好玩完就被饲养员接走的出发时间必定为 $t_i - sd_i$。

那么，我们令 $a_i = t_i - sd_i$表示第 $i$ 只小猫的最早出发时间。

因此，对于第 $k$ 时刻出发的饲养员能接到的小猫当且仅当满足 $a_i \leq k$。

然后，我们定义 $dp_{i,j}$ 表示用 $i$ 个饲养员，接走 $j$ 只小猫的最小代价。

得状态转移方程：

$$dp_{i,j} = \min(dp_{i - 1,k} + \sum_{u = k + 1}^j(a_j - a_u))$$

化简得：

$$dp_{i,j} = \min(dp_{i - 1,k} + \sum_{u = k + 1}^ja_j - \sum_{u = k + 1}^ja_u)$$

用前缀和优化得：

$$dp_{i,j} = \min(dp_{i - 1,k} - a_j \times k + a_j \times j + s_j - s_k)$$

如果选 $k_2$ 优于 $k_1$，当且仅当满足如下条件：

$$dp_{i - 1,k_1} - a_j \times k_1 + a_j \times j + s_j - s_{k_1} > dp_{i - 1,k_2} - a_j \times k_2 + a_j \times j + s_j - s_{k_2}$$

化简，有：

$$dp_{i - 1,k_1} - a_j \times k_1 - s_{k_1} > dp_{i - 1,k_2} - a_j \times k_2 - s_{k_2}$$

$$\frac{(dp_{i - 1,k_1} - s_{k_1}) - (dp_{i - 1,k_2} - s_{k_2})}{k_1 - k_2} > a_j$$

$$\frac{(dp_{i - 1,k_2} - s_{k_2}) - (dp_{i - 1,k_1} - s_{k_1})}{k_2 - k_1} > a_j$$

不妨令：

1. $dp_{i - 1,x} - s_x$ 为 $Y(x)$。
2. $k_x$ 为 $X(i)$。
3. $a_j$ 为 $K$。

那么，有：

$$\frac{Y(k_2) - Y(k_1)}{X(k_2) - X(k_1)} < K$$