[题解]AT_dp_w Intervals

思路

首先考虑较为普通的 DP。

定义 $dp_{i,j}$ 表示在前 $i$ 个位置中，最后一个 1 在 $j$ 的最大分数，显然有：

$$dp_{i,j} = \left\{\begin{matrix} \max_{k = 1}^{i - 1}\{dp_{i - 1,k}\} + \sum_{l_k \leq j \wedge r_k = i}{a_k} & (i = j)\\ dp_{i - 1,j} + \sum_{l_k \leq j \wedge r_k = i}{a_k} & (i \neq j) \end{matrix}\right.$$

发现这个状态是 $\Theta(n^2)$ 的，但是可以滚掉一维，空间复杂度 $\Theta(n)$，时间复杂度 $\Theta(n^2)$。

不难发现，对于每一个 $(l,r,a)$ 的三元组，会在 $i = r$ 时，在 $dp_{l \sim i}$ 中做出贡献，于是转变为了区间加。

然后对于第一个式子中的 $\max$ 也就是区间查询最值。于是用线段树维护 $dp$ 数组即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define fst first  
#define snd second  
#define re register  
#define int long long  
  
using namespace std;  
  
typedef pair<int,int> pii;  
const int N = 2e5 + 10;  
int n,m;  
vector<pii> v[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
struct seg{  
    #define ls(u) (u << 1)  
    #define rs(u) (u << 1 | 1)  
  
    struct node{  
        int l,r;  
        int Max,tag;  
    }tr[N << 2];  
  
    inline void calc(int u,int k){  
        tr[u].Max += k;  
        tr[u].tag += k;  
    }  
  
    inline void pushup(int u){  
        tr[u].Max = max(tr[ls(u)].Max,tr[rs(u)].Max);  
    }  
  
    inline void pushdown(int u){  
        if (tr[u].tag){  
            calc(ls(u),tr[u].tag);  
            calc(rs(u),tr[u].tag);  
            tr[u].tag = 0;  
        }  
    }  
  
    inline void build(int u,int l,int r){  
        tr[u] = {l,r};  
        if (l == r) return;  
        int mid = l + r >> 1;  
        build(ls(u),l,mid);  
        build(rs(u),mid + 1,r);  
    }  
  
    inline void modify(int u,int l,int r,int k){  
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r){  
            calc(u,k);  
            return;  
        }  
        pushdown(u);  
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;  
        if (l <= mid) modify(ls(u),l,r,k);  
        if (r > mid) modify(rs(u),l,r,k);  
        pushup(u);  
    }  
  
    #undef ls  
    #undef rs  
}T;  
  
signed main(){  
    n = read();  
    m = read();  
    for (re int i = 1;i <= m;i++){  
        int l,r,w;  
        l = read();  
        r = read();  
        w = read();  
        v[r].push_back({l,w});  
    }  
    T.build(1,1,n);  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        T.modify(1,i,i,max(0ll,T.tr[1].Max));  
        for (auto p:v[i]) T.modify(1,p.fst,i,p.snd);  
    }  
    printf("%lld",max(0ll,T.tr[1].Max));  
    return 0;  
}