[题解]AT_abc342_f [ABC342F] Black Jack

思路

发现自己与庄家的操作是完全独立的，所以考虑分别计算它们。

首先考虑自己的情况，定义 $dp_i$ 表示掷出骰子的和为 $i$ 获胜的概率，并记 $f(i)$ 表示 $x = i$ 时就不掷的获胜概率。

对于每一步我们要么掷骰子（并且掷出的值等概率的在 $1 \sim D$ 中），要么直接结束。两种情况结合容易得出状态转移方程：

$$dp_i = \max(\frac{\sum_{j = i + 1}^{i + D}{dp_j}}{D},f(i))$$

于是现在的问题就转化为了如何计算 $f(i)$。根据题目，获胜有两种情况，$y > n$ 或者 $x > y$。现在 $x,n$ 都已知，关键点就在于 $y$。

定义 $g_i$ 表示庄家最终掷出结果为 $i$ 的概率。那么 $y > n$ 的情况就是 $1 - \sum_{i = 1}^{n}{g_i}$；$x > y$ 的情况就是 $\sum_{i = 1}^{x - 1}{g_i}$。显然可以前缀和优化一下。

考虑如何求 $g$。发现 $g_i$ 会等概率地贡献给 $g_{(i + 1) \sim (i + D)}$，因此每次：

$$\forall j \in [i + 1,i + D],g_j \leftarrow g_j + \frac{g_i}{D}$$

但是这样转移是 $\Theta(LD)$ 的，同时注意到转移本质上是一个区间修改，单点查询，可以使用树状数组维护。

同时，根据题目，当 $y < L$ 时是还会继续掷骰子的，因此需要将 $g_{1 \sim (L - 1)}$ 在转移完成后清零。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define double long double

using namespace std;

const int N = 4e5 + 10;
int n,l,d;
double g[N],dp[N];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

struct BIT{
    #define lowbit(x) (x & -x)

    double tr[N];

    inline void modify(int x,double k){
        for (re int i = x;i <= 4e5;i += lowbit(i)) tr[i] += k;
    }

    inline double query(int x){
        double res = 0.0;
        for (re int i = x;i;i -= lowbit(i)) res += tr[i];
        return res;
    }

    #undef lowbit
}T;

inline double f(int x){
    if (x > n) return 0.0;
    double res = 1.0 - g[n];
    if (x) res += g[x - 1];
    return res;
}

int main(){
    g[0] = 1.0;
    n = read(),l = read(),d = read();
    for (re int i = 0;i <= 4e5;i++){
        if (i) g[i] = T.query(i);
        if (i < l){
            T.modify(i + 1,g[i] / d),T.modify(i + d + 1,-g[i] / d);
            g[i] = 0.0;
        }
    }
    for (re int i = 1;i <= 4e5;i++) g[i] += g[i - 1];
    double sum = 0.0;
    for (re int i = 4e5;~i;i--){
        if (i > n) dp[i] = 0.0;
        else dp[i] = max(sum / d,f(i));
        sum += dp[i];
        if (i + d <= 4e5) sum -= dp[i + d];
    }
    printf("%.15Lf",dp[0]);
    return 0;
}