[题解]AT_abc321_f [ABC321F] #(subset sum = K) with Add and Erase

思路

可撤销背包板子。

首先问题是用当前所拥有的数的集合凑出 $x$ 的方案数。

这个问题明显可以背包解决，即 $dp_j \leftarrow dp_j + dp_{j - a_i}$。

但是，此问题中物品有可能会被删除，即变为了一个动态的问题，如果直接暴力计算时间复杂度为 $\Theta(qn^2)$。

那么，我们转化一下思路，如果我们使每一次变化的数 $x$ 都假令为 $a$ 中的最后一个元素。因为 0-1 背包对于数的先后顺序无关，所以此假令不会影响答案。

然后，再想一下 0-1 背包的板子，我们已经假令 $x$ 为 $a$ 中最后一位元素，如果 $a$ 的大小为 $m$，那么我们在枚举 $i$ 时，当 $i$ 在 $[1,m)$ 范围内时，此时更新的 DP 数组与原 DP 数组的值不变。

因此，我们只需要考虑 $x$ 带来的贡献，我们将两种操作分开考虑。

Part 1 添加操作#

因为是在 0-1 背包里面取出最后一个元素，所以与 0-1 背包相同。

for (re int i = n;i >= x;i--) dp[i] = Add(dp[i],dp[i - x]);  

Part 2 删除操作#

因为是删除，所以枚举的顺序也不同。

设想如果按照正常 0-1 背包的顺序枚举，当此时删除 $2$ 时，如果能删除 $dp_9$ 就会被 $dp_7$ 所影响，但如果 $a$ 中只有一个 $2$，显然 $dp_9$ 无法取到。

那么当倒序循环时，$dp_9$ 会在 $dp_7$ 之后计算到。

for (re int i = x;i <= n;i++) dp[i] = Sub(dp[i],dp[i - x]);  

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
#define int long long  
  
using namespace std;  
  
const int N = 5010,mod = 998244353;  
int q,n;  
int dp[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline int Add(int a,int b){  
    return (a + b) % mod;  
}  
  
inline int Sub(int a,int b){  
    return ((a - b) % mod + mod) % mod;  
}  
  
signed main(){  
    dp[0] = 1;  
    q = read();  
    n = read();  
    while (q--){  
        int x;  
        char op[10];  
        scanf("%s",op);  
        x = read();  
        if (op[0] == '+'){  
            for (re int i = n;i >= x;i--) dp[i] = Add(dp[i],dp[i - x]);  
        }  
        else{  
            for (re int i = x;i <= n;i++) dp[i] = Sub(dp[i],dp[i - x]);  
        }  
        printf("%lld\n",dp[n]);  
    }  
    return 0;  
}