[题解]AT_abc288_f [ABC288F] Integer Division

思路

定义 $dp_i$ 表示前 $i$ 位所能得到的答案。

那么，不难得出状态转移方程，其中 $X_{i,j}$ 表示 $X_{i,j}$ 转为的数字：

d p_{i} = \sum_{j = 1}^{i - 1} (d p_{j} \times X_{j + 1 \sim i}) + X_{1, i}

$dp_i = \sum_{j = 1}^{i - 1}(dp_j \times X_{j + 1 \sim i}) + X_{1,i}$

这样的时间复杂度为 $\Theta(n^2)$ 过不了，考虑用前缀和优化。

\begin{aligned} d p_{i} = & \sum_{j = 1}^{i - 1} (d p_{j} \times X_{j + 1, i}) + X_{1, i} \\ = & \sum_{j = 1}^{i - 1} (d p_{j} \times (10 \times X_{j + 1, i - 1} + X_{i, i})) + X_{1, i} \\ = & 10 \times d p_{i - 1} + X_{i, i} \times \sum_{j = 1}^{i - 1} (d p_{j}) + X_{1, i} \end{aligned}

$\begin{aligned} dp_i =& \sum_{j = 1}^{i - 1}(dp_j \times X_{j + 1,i}) + X_{1,i}\\ =& \sum_{j = 1}^{i - 1}(dp_j \times (10 \times X_{j + 1,i - 1} + X_{i,i})) + X_{1,i}\\ =& 10 \times dp_{i - 1} + X_{i,i} \times \sum_{j = 1}^{i - 1}(dp_j) + X_{1,i} \end{aligned}$

然后用前缀和维护一下 $\sum_{j = 1}^{i - 1}(dp_j)$ 即可。

时间复杂度 $\Theta(n)$ 。

注意：为了代码简介，我们规定 $dp_0 = sum_0 = 1$ ，这样就可以省去 $X_{1,i}$ 。因为每一次 $sum_i$ 都会多 $1$ ，加起来就正好为 $X_{1,n}$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 2e5 + 10,mod = 998244353;  
int n;  
int dp[N],sum[N];  
string s;  
  
signed main(){  
    ios::sync_with_stdio(0);  
    cin.tie(0);  
    cout.tie(0);  
    cin >> n >> s;  
    s = ' ' + s;  
    dp[1] = s[1] - '0';  
    sum[1] = dp[1] + 1;  
    for (re int i = 2;i <= n;i++){  
        dp[i] = (10 * dp[i - 1] + (s[i] - '0') * sum[i - 1]) % mod;  
        sum[i] = (sum[i - 1] + dp[i]) % mod;  
    }  
    printf("%lld",dp[n]);  
    return 0;  
}