[题解]AT_abc288_d [ABC288D] Range Add Query

思路

首先你可以发现，如果一个区间 $[l,r]$ 是一个好的序列，那么一定 $i$ 能从 $l$ 开始 一直到 $r - k + 1$，将 $a_{i \sim (i + k - 1)}$ 减掉 $a_i$。

那么，当 $l = 1$ 时，对于每一个 $i$，我们可以 $\Theta(n)$ 算出减到 $a_{i - 1}$ 时，$a_i$ 的值，记作 $c_i$。

例如，样例 1 的 $c$ 数组为：

3 -4 2 0 0 0 5

在区间 $[l,r]$ 中，$a_{(r - k + 2) \sim r}$ 在减掉 $a_{r - k + 1}$ 之后就不会修改了。那么这个 $c$ 数组的作用就可以体现了，如果 $[l,r]$ 区间是好的序列，当且仅当 $c_{(r - k + 2) \sim r}$ 全都为 $0$，因为满足上述条件意味着无需操作 $a_{(r - k + 2) \sim r}$ 就可以满足题意。

考虑动态维护 $c$ 数组。显然的是 $l = i + 1$ 的 $c$ 数组可以由 $l = i$ 的 $c$ 数组转移。再观察一下，转移的时候，是将 $i \bmod k = t$ 的减去 $\Delta$，$i \bmod k = (t + 1) \bmod k$ 的加上 $\Delta$，其中 $t = i \bmod k$。

那么，你用按照下标模 $k$ 的元素分别用一个树状数组维护其 $c$ 数组的值。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define int long long

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n,k,q;
int arr[N],c[N];
bool ans[N];

struct Query{
    int r,id;
};
vector<Query> Q[N];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

struct BIT{
    #define lowbit(x) (x & -x)

    int tr[N];

    inline void modify(int x,int k){
        for (re int i = x;i <= n;i += lowbit(i)) tr[i] += k;
    }

    inline int query(int x){
        int res = 0;
        for (re int i = x;i;i -= lowbit(i)) res += tr[i];
        return res;
    }

    #undef lowbit
}T[11];

signed main(){
    n = read(),k = read();
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();
    for (re int i = 1;i <= n;i++){
        c[i] = arr[i];
        for (re int j = i;j <= i + k - 1;j++) arr[j] -= c[i];
    }
    for (re int ty = 0;ty < k;ty++){
        int be = ty;
        if (!be) be = k;
        for (re int i = be;i <= n;i += k){
            T[ty].modify(i,c[i]); T[ty].modify(i + 1,-c[i]);
        }
    }
    q = read();
    for (re int i = 1;i <= q;i++){
        int l,r;
        l = read(),r = read(); Q[l].push_back({r,i});
    }
    for (re int i = 1;i <= n;i++){
        int be = i % k;
        for (auto p:Q[i]){
            bool falg = true;
            int x = p.r - k + 2;
            for (re int j = x;j <= p.r;j++){
                int val = T[j % k].query(j);
                if (val){
                    falg = false; break;
                }
            }
            ans[p.id] = falg;
        }
        int del = T[be].query(i);
        T[be].modify(1,-del); T[(be + 1) % k].modify(1,del);
    }
    for (re int i = 1;i <= q;i++){
        if (ans[i]) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}