[题解]AT_abc249_e [ABC249E] RLE

思路

定义 $dp_{i,j}$ 表示在前 $i$ 位原字符串，压缩为 $j$ 位的方案数。

不难得出状态转移方程：

$$dp_{i,j} = \sum_{k = 1}^{i}(25 \times dp_{k,j - \lfloor \log_{10}k \rfloor - 1})$$

这样搞是 $\Theta(n^3)$ 的，所以考虑优化。

不难发现 $\log_{10}k$ 是很小的，所以考虑来枚举 $k$，得到新的状态转移方程：

$$dp_{i,j} = 25 \times (\sum_{k = 0}^{\lfloor \log_{10}k \rfloor}\sum_{p = i - 10^k + 1 }^{i - 10^{k - 1}}dp_{p,p - k - 1})$$

然后最后的那个 $\sum$ 可以用前缀和优化一下，时间复杂度为 $\Theta(n^2\log_{10}n)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 3010;  
int n,mod,ans;  
int pt[] = {1,10,100,1000,10000};  
int dp[N][N],s[N][N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){  
    if (!b){  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return a;  
    }  
    int d = exgcd(b,a % b,y,x);  
    y = y - a / b * x;  
    return d;  
}  
  
inline int get_inv(int a,int p){  
    int x,y;  
    exgcd(a,p,x,y);  
    return (x % mod + mod) % mod;  
}  
  
inline int sum(int l,int r,int k){  
    if (l > r || r < 0 || k < 0) return 0;  
    if (l <= 0) return s[r][k];  
    return ((s[r][k] - s[l - 1][k]) % mod + mod) % mod;  
}  
  
signed main(){  
    n = read();  
    mod = read();  
    dp[0][0] = s[0][0] = 1;  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 0;j < n;j++){  
            for (re int k = 1;k <= 4;k++) dp[i][j] = (dp[i][j] + sum(i - pt[k] + 1,i - pt[k - 1],j - k - 1) * 25) % mod;  
            s[i][j] = (s[i - 1][j] + dp[i][j]) % mod;  
        }  
    }  
    for (re int i = 0;i < n;i++) ans = (ans + dp[n][i]) % mod;  
    printf("%lld",ans * get_inv(25,mod) % mod * 26 % mod);  
    return 0;  
}