[题解]AT_abc225_f [ABC225F] String Cards

思路

Part 1 弱化版#

看到这道题的第一眼想到了 P1012 这道题。

但是，这两道题选择的数量是有区别的。

我们可以由拼数得出一个结论性的排序规则（这里就不多做解释了）：

inline bool cmp(string a,string b){  
    return a + b < b + a;  
}  

如果用这样的做法，有 hack。

Part 2 状态定义#

我们首先可以定义状态 $dp_{i,j}$ 为在前 $i$ 个字符串中取 $j$ 个字符串字典序最小的结果。

我们便能很轻松的得出以下状态转移方程：

$$dp_{i,j} = \min(dp_{i - 1,j},dp_{i - 1,j - 1} + s_i)$$

但是，仔细一看就能发现一些问题：在你搞字典序最小的字符串时，是不是先确定前面的字符串再确定后面的字符串吗？计算机也是这样的。

所以，我们修改状态函数 $dp_{i,j}$ 表示在后 $i$ 个字符串中取 $j$ 个字符串字典序最小的结果。

状态转移方程为：

$$dp_{i,j} = \min(dp_{i + 1,j},s_i + dp_{i + 1,j - 1})$$

Part 3 整理#

我们由拼数这道题可以再次得出一个结论：如果假设按照上述排序规则排序后，要使自字典序最小的字符串序列为 $s_{a_1},s_{a_2},\dots,s_{a_k}$，那么 $a$ 序列必定是严格单调递增的。

那么，这题何尝不是呢？

所以，我们要在执行 DP 前，按照上述排序规则排一次序。时间复杂度为：$\Theta(n\log n + nk)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 60;  
int n,k;  
string s[N];  
string dp[N][N];  
  
inline bool cmp(string a,string b){  
    return a + b < b + a;  
}  
  
int main(){  
    ios::sync_with_stdio(0);  
    cin.tie(0);  
    cout.tie(0);  
    cin >> n >> k;  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) cin >> s[i];  
    sort(s + 1,s + 1 + n,cmp);//排序   
    for (re int i = 1;i <= n;i++){//将 dp 数组初始化为正无穷   
        for (re int j = 1;j <= k;j++) dp[i][j] = "{";//因为 '{' 的 ASCII 码比 'x' 的大   
    }  
    dp[n][1] = s[n];//状态起点   
    for (re int i = n - 1;i;i--){//转移   
        for (re int j = 1;j <= k;j++) dp[i][j] = min(dp[i + 1][j],s[i] + dp[i + 1][j - 1]);  
    }  
    cout << dp[1][k];  
    return 0;  
}