[题解]AT_abc217_f [ABC217F] Make Pair

思路

区间 DP 好题，合并的时候十分毒瘤。

首先，定义 $dp_{i,j}$ 表示合并 $[i,j]$ 区间不同的方案的数量。不难发现，如果区间长度为奇数（即 $j - i + 1$ 为奇数），一定无法合并。

然后，如果 $i,j$ 是朋友关系，有 $dp_{i, j} = dp_{i + 1,j - 1}$。

接着，我们可以枚举一个中间点 $k$，如果 $k,j$ 是朋友关系，那么，区间被分为了 $[i,k),[k,j]$ 两个区间，易得（还要乘一个组合数是因为还要考虑交换顺序所带来的不同方案数）：

$$dp_{i,j} \leftarrow dp_{i,j} + dp_{i,k - 1} \times dp_{k,j} \times C_{\frac{j - i + 1}{2}}^{\frac{r - k +1 }{2}}$$

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 510,mod = 998244353;  
int n,m;  
int C[N][N],dp[N][N];  
bool vis[N][N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 1) + (r << 3) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    n = read() << 1;  
    m = read();  
    for (re int i = 1;i <= m;i++){  
        int a,b;  
        a = read();  
        b = read();  
        if (!((b - a + 1) & 1)){//长度为偶数才有可能合并   
            vis[a][b] = vis[b][a] = true;  
            if (a == b + 1 || a + 1 == b) dp[a][b] = dp[b][a] = 1;  
        }  
    }  
    for (re int i = 0;i <= n;i++){//预处理组合数   
        for (re int j = 0;j <= i;j++){  
            if (!i) C[i][j] = 1;  
            else C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;  
        }  
    }  
    for (re int l = 2;l <= n;l += 2){//只枚举偶数   
        for (re int i = 1;i + l - 1<= n;i++){  
            int j = i + l - 1;  
            if (vis[i][j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];//i,j 是朋友关系   
            for (re int k = i + 2;k < j;k += 2){//只枚举长度为偶数的情况   
                if (vis[k][j]) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][k - 1] * dp[k + 1][j - 1] % mod * C[l / 2][(j - k + 1) / 2] % mod) % mod;  
            }  
        }  
    }  
    printf("%lld",dp[1][n]);  
    return 0;  
}