[题解]AT_abc216_f [ABC216F] Max Sum Counting

思路

首先，不难发现，对于本题将 $a,b$ 合成一个序列，并按照 $a_i$ 排序的答案不会发生变化。所以，我们可以直接排序，那么，我们当前枚举到的 $a_i$ 就是当前的 $\max(a_i)$。

定义 $dp_{i,j,0/1}$ 表示在 $1 \sim i$ 中，选择的 $b_i$ 之和为 $j$，并且第 $i$ 个数 不选/选 的方案数。

不难得出状态转移方程：

$$\left\{\begin{matrix} dp_{i,j,0} = dp_{i - 1,j,0} + dp_{i - 1,j,1} \\ dp_{i,j,1} = dp_{i - 1,j - b_i,0} + dp_{i - 1,j - b_i,1} \end{matrix}\right.$$

然后来考虑一下 $i,j$ 的边界问题，$i$ 明显是 $1 \leq i \leq n$，而 $j$ 要满足 $\sum_{k}b_k \leq \max(a_k)$ 的条件，所以 $j$ 不能大于 $\max(a_i)$，由此，$1 \leq j \leq \max(a_i)$。

递推起点为：$dp_{0,0,0} = 1$。答案为 $\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{a_i}dp_{i,j}$。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define fst first  
#define snd second  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
typedef pair<int,int> pii;  
const int N = 5010,mod = 998244353;  
int n,ans;  
int dp[N][N][2];  
pii arr[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 1) + (r << 3) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    dp[0][0][0] = 1;  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i].fst = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i].snd = read();  
    sort(arr + 1,arr + n + 1);  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 0;j <= arr[n].fst;j++){  
            dp[i][j][0] = (dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][j][1]) % mod;  
            if (j >= arr[i].snd) dp[i][j][1] = (dp[i - 1][j - arr[i].snd][0] + dp[i - 1][j - arr[i].snd][1]) % mod;  
        }  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 1;j <= arr[i].fst;j++) ans = (ans + dp[i][j][1]) % mod;  
    }  
    printf("%lld",ans);  
    return 0;  
}