专题三、非线性规划

一般形式为：

min f(x)

s.t. h_i(x)=0     i=1,2,...,p,p<n (x=[x1 x2 ... xn]是n维欧式空间Rn中的向量)

      g_j(x)≤0    j=1,2,...,m

注意：

（1）f(x),h_i(x),g_j(x)至少有一个是非线性函数

（2）m不必小于n，不等式各种各样都行，但是等式个数必须少于（等于）维数，不然就可能无解。（如果出现一批等价的冗余等式，那就可能多于，我也无力吐槽）

 

下面将囤积一批经典的或者有意思的特例：

 （1）凸规划...单峰

min f(x)

s.t. h_i(x)=0    i=1,2,...,p, p<n

      g_j(x)≤0   j=1,2,...,m

其中，f(x),g_j(x)均为Rn上的凸函数，h_i(x)(i=1,2,...,p)为线性函数，则这样的问题称为凸规划问题。

（2）无约束非线性规划问题的极值条件...可能多峰

（3）多维有约束线性规划问题的极值条件

min f(x)

s.t. h_i(x)=0    i=1,2,...,p, p<n

      g_j(x)≤0   j=1,2,...,m

约束最优点不仅和目标函数本身的性质有关，还与约束函数的性质有关，因此约束条件下的优化问题比无约束条件下的优化问题更为复杂和难以理解。

K-T条件：（i）作为确定一般非线性规划问题中某点是否为极值点的必要条件。（对于凸规划，也是充分条件）（ii）注意，K-T条件是判断极值点的必要条件，而不能判断该极值点是全局最优点还是局部最优点。实际上，至今还没有一个统一有效的判别局部最优还是全局最优的方法！