特征值和特征向量

一、其他定义

设T是线性空间V的线性变换，V中所有向量的象形成的集合，称为T的值域，用R(T)表示，即

　　R(T)={Tx|x属于V}

V中所有被T变为零向量的原象构成的集合，成为T的核，用N(T)表示，即

　　N(T)={x|Tx=0，x属于V}

定理1：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间。

定义：象子空间的维数dimR(T)称为T的秩，核子空间的维数dimN(T)称为T的亏（或零度）

定理2：dimR(T)+dimN（T）=n，n为列数

定理3：折线性空间Vn的线性变换T，对于Vn的两个基x1,x2,x3...xn和y1,y2,...yn的矩阵依次是A和B，并且

　　（y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn)C

那么

　 B=C^-1AC

相似矩阵

二、特征值、特征向量定义

　　现在讨论如何选择线性空间的基，使线性变换在该基下的矩阵形状最简单。为此，先论述线性变换的特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究，起着十分重要的作用。

定义：Tx=λx

有定义，有

T（kx）=λ₀（kx），λ0是任意一个特征值。这意味着特征向量不是被特征值唯一确定，但是特征值却被特征向量唯一确定。

求法：略

特征矩阵:λI-A

特征多项式：φ（λ）=det（λI-A）

定义：设T是线性空间Vn的线性变换，λ0是T的一个特征值，称Vn的子空间Vλ0为T的属于λ0的特征子空间。

三、一堆定理

定理1：设A=（a_ij）_n×n，B=（b_ij）_n×n，则tr（AB）=tr（BA）.

 

定理2：相似矩阵有相同的迹。

定理3：相似矩阵有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值。

 

定理4：设A1，A2，A3...An均为方阵，A=diag（A1，A2，A3...An），则det（λI-A）=Πdet（λIi-Ai），其中Ii表示与Ai同阶的单位矩阵。

定理5：设A属于Rm×n，B属于Rn×m，又设AB的特征多项式为φAB（λ），BA的多项式为φBA（λ），则λⁿφ_AB（λ）=λ^mφ_BA（λ）

 

定理6：任意n阶矩阵与三角矩阵相似。

 

定理7：n阶矩阵A是其特征多项式的矩阵根（零点），即令

　　φ（λ）=det（λI-A）=λⁿ+a₁λ^n-1+...+a_n-1λ+a_n

则

　　φ（A）=Aⁿ+a₁A^n-1+...+a_n-1A+a_nI=0

 

定义1：首项系数是1（简称首1），次数最小，且以矩阵A为根的λ的多项式，称为A的最小多项式，常用m（λ）表示。

定理8：矩阵A的最小多项式m（λ）可整除以A为根的任意首1多项式ψ（λ），且m（λ）是唯一的。

定理9：矩阵A的最小多项式m（λ）与其特征多项式φ（λ）的零点相同（不计重数）。

定理10：设n阶矩阵A的特征多项式φ（λ），特征矩阵λI-A的全体n-1阶子式的最大公因式为d（λ），则A的最小多项式为

　　m（λ）=φ（λ）/d（λ）

相似矩阵有相同的最小多项式

 

定理11：如果λ1，λ2，...，λn是矩阵A的互不相同的特征值，x1，x2，...，xn是分别属于它们的特征向量，那么，x1，x2...xn线性无关。

定理12：如果λ1，λ2...λk是矩阵A的不同特征值，而x_i1，x_i2，...，x_irt是λi的线性无关的特征向量（i=1,2,...k）,那么所有的向量组也线性无关。

 四、对角矩阵

　　对角矩阵是较简单的矩阵之一。无论是计算它的乘积、逆矩阵还是特征值等，都甚为方便。这里将要讨论，那些线性变换在适当基下的矩阵是对角矩阵的问题。

充要命题

定理1：设T是线性空间Vⁿ的线性变换，T在一基下的矩阵A可以为对角矩阵的充要条件是T有n个线性无关的特征向量。（证明很简单）

定理2：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是，A有n个线性无关的特征向量，或A有完备的特征向量系。

充分命题

定理3：如果n阶矩阵有n个互不相同的特征值，那么它与对角矩阵相似。