线性变换

　　线性空间中有许多变换，其中一种叫做线性变换。记住：并不是在线性空间中的变换都是线性变换！！

一、定义

设σ是数域F上线性空间V的一个变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域F中任意的数k，总有

（1）σ（α+β）=σ（α）+σ（β）；

（2）σ（kα）=kσ（α），

则称σ为线性空间V的一个线性变换。（这和信号与系统中的定义一样，只不过这里是向量而已）

二、性质

（1）若σ为线性变换，则σ（0）=0；σ（-α）=-σ（α）（α属于V）

（2）线性变换保持线性组合关系，即对V中任意向量α1，α2，...，αn及数域F中任意数k1，k2，k3，...，ks，总有

　　σ（k1α1+k2α2+...+ksαs）=k1σ(α1)+k2σ(α2)+...+k3σ(α3)

（3）线性变换σ把线性相关向量组化为线性相关向量组，即若α1，α2，...，αs是V中线性相关向量组，则σ（α1），σ（α2），...，σ（αs）也一定是相关的

（4）若σ，ς都是线性变换，则σ+ς，σς都是线性变换；对于k属于F，kσ也是线性关系

（5）若σ是可逆线性变换，则σ^-1也是可逆线性变换

三、线性变换与矩阵的对应关系

　　在取定基下，数域F上n维线性空间的线性变换与数域F上的n阶矩阵是一一对应的。同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。

参考文献

吉林大学教材《线性代数》