基与维数

一、基与维数的引入

　　在上一篇博客中已经介绍完了线性空间。这里再将它的定义再描述一次。通常我们说明一个线性空间的时候，我们这么表达：xxx集合构成xxx数域上的线性空间。这里提醒我们线性空间是把集合、数域以及满足相应运算律的两种运算作为统一整体的一个概念。

　　集合：我们讨论的重点

　　数域：某些数集（含非零的数），如果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在该数集中（即数集关于四则运算的封闭性），我们称该数集为数域。

　　运算：加法、乘法（含不是通常意义下的）

　　其中，我们根据“集合”的子集及数域、运算律又定义了子空间。

　　根据运算的封闭性，我们知道“集合”中的元素个数的选择是：要么一个，要么无穷多个。（1）一个的情况：只有零元素，构成零空间（2）无穷多个：存在一个非零的元素，进而根据运算封闭性，产生无穷多个。一个的情况好说，无穷多个的情况怎么表示分析？

　　通常我们会引入线性相关、线性无关、极大无关组、秩等概念来解决。更具体地，利用基、维数空间来表达无穷多的元素。对于非零空间，一种可以有限个数的线性无关表达，这种称为有限维线性空间；另一种情况需要无穷多个无关向量来表示，称之为无限维线性空间。

二、相关定义、定理

　　基或基底：n个向量线性无关，任意向量可由此n个向量表示，这n个向量可称为基。基的个数称为维数。有以下几条结论：

（1）n维线性空间V中任一个向量可由n个基表示，且表示唯一。

（2）线性空间的基（只要存在）必唯一。

（3）有限维线性空间的维数是唯一确定的。

参考文献

吉大教材《线性代数》