2022-12-2 Acwing每日一题

本系列所有题目均为Acwing课的内容，发表博客既是为了学习总结，加深自己的印象，同时也是为了以后回过头来看时，不会感叹虚度光阴罢了，因此如果出现错误，欢迎大家能够指出错误，我会认真改正的。同时也希望文章能够让你有所收获，与君共勉！

今天来学习二分图及其最大匹配，二分图指的是一个图中的点都被分在两个点集中，且点集内部的点不存在边相连接，他们只与另一个点集中的点存在边，这样可以被分为两部分且各部分内部无关的图就被称为二部图/二分图。
二部图的定义：含有奇数环的图一定不是二部图，其逆否命题为二部图一定是不含奇数环的图。
完全二分图指的就是一个集合的每一个点与另一个集合的每一个点都存在边，这样的图就被称为完全二部图，那么怎么来判断一个图是二部图呢？我们可以使用染色法判断二部图。

染色法判断二分图

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式
如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出No。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：

4 4
1 3
1 4
2 3
2 4

输出样例：

Yes

算法原理

需要注意二部图并不一定是连通图，所以需要判断每个点是否需要染色，并且将这个点所在的连通块都进行染色。
算法步骤：
1.

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5+10,M = 2e5+10;	// 无向图
int e[M],ne[M],h[N],idx;	// 邻接表存图
int color[N];	// 颜色为1和2

void add(int a,int b){
	e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

bool dfs(int u,int c){	// 由一个点的颜色就可以判断其他所有点的颜色
	color[u] = c;
	
	for(int i=h[u] ; i != -1 ; i = ne[i]){	// 遍历所有与u相连的点
		int j = e[i];
		if(!color[j]){	// 对于没有被染色的点
			if(!dfs(j,3-c))	return false;	// 如果这里存在奇数环（发生冲突）说明不能被染色，返回false
		}
		else if(color[j] == c)	return false;	// 如果j的颜色yvu的颜色相同，则发生冲突（j的颜色应该是2但是却是1）
	}
	return true;
}

int main(void){
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	memset(h,-1,sizeof h);
	
	
	while(m--){
		int a,b;
		cin >> a >> b ;
		add(a,b);
		add(b,a);
	}
	
	bool flag = true;	// flag表示为ture就是二分图，false就是不是二分图
	for(int i=1; i <= n ; ++i){	// 遍历所有的点从编号为1开始到n
		if(!color[i]){	// 对每个点所在的连通块进行染色，染过的不用染
			if(!dfs(i,1)){	// 如果存在奇数环染色出现冲突则说明不是二分图
				flag = false;
				break;
			}
		}
	}
	
	if(flag){
		puts("Yes");
	}
	else {
		puts("No");
	}
}

---

整个基础图论终于只剩下二分图的最大匹配也就是匈牙利算法了，时间复杂度好的时候为$O(m)$，时间复杂度最差为$O(mn)$，由于y总的举例以及匈牙利算法的匹配特性，我在时间复杂度最好时叫他月老算法，时间复杂度中等时叫他牛头人算法，时间复杂度最差时叫他添狗算法🐕，整个算法内容也就这里最有趣了。

二分图的最大匹配

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105
输入样例：

2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2

输出样例：

2

算法原理

这里先来介绍一下最大匹配到底是什么，这里的匹配指的是每一对点（分别属于两个点集）只能匹配一条边，不能同时匹配所有边，最大匹配指的是要求其中一个子集最好每一个点都能成功匹配。
如果是在非诚勿扰里，匹配可以看成是牵手成功，最大匹配就是让我们当月老，尽可能多的让参赛者都与意中人牵手成功，而匈牙利算法就是以不超过$O(mn)$的时间里让其中一个点集中的点尽可能多的匹配成功。
注意题目已经给了我们两个二部图，我们需要使用邻接表将其存储起来，连接一条有向边从左边集合的点连向右边集合，并且需要一个match数组表示右边集合每个点匹配的人是谁，这是从右边的集合访问左边的点，那么从左边集合访问右边集合就可以直接使用边来访问，还有一个st表示右边妹子是否牵手成功。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 510,M = 100010;

int n1,n2,m;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int match[N];
bool st[N];


void add(int a,int b){
	e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

bool find(int x){
	for(int i=h[x] ; i != -1; i = ne[i]){	// 给x找右边的每一个有好感度的妹子牵手
		int j = e[i];
		if(!st[j])	// 妹子j没有牵手过
		{
			st[j] = true;	// 妹子被x牵手了
			if(match[j] == 0 || find(match[j])){	// 如果这个妹子没有被前面的参赛者牵手成功或者和这恶鬼妹子被前面的参赛者给甩了
				match[j] = x;	// 那么这个妹子就找x牵手
				return true;	// x牵手成功
			}
		}
	}
	return false;	// 如果找了都没有牵手成功就说明找不到了
}

int main(void){
	cin >> n1 >> n2 >> m;
	memset(h,-1,sizeof h);
	
	while(m--){
		int a,b;
		cin >> a >> b ;
		add(a,b);		
	}	
	
	int res = 0;
	for(int i=1; i <= n1 ; ++i){
		memset(st,false,sizeof st);	// 每一个参赛者都要先尝试从头舔，如果不初始化为0，那么后面的参赛者就会直接放弃成为牛头人的机会
		if(find(i))	res++;	
	}
	
	cout << res;
	return 0;	
	
}