Uva 294 Divisors(唯一分解定理)

题意：求区间内正约数最大的数。

原理：唯一分解定义（又称算术基本定理），定义如下：

　　任何一个大于1的自然数 ，都可以唯一分解成有限个质数的乘积  ，这里  均为质数，其诸指数  是正整数。这样的分解称为

  

的标准分解式。（取自百度百科）

 根据原理，正约数数量 = (1+a1)(1+a2)..(1+an)

因此我们需要先求出所有素数，进而求出a1,a2,..an的大小。

原题给的数字范围是1<=L<=U<=10^9,假如要全部算一遍需要很长时间。那么可能最大的正约数是多少呢？

回想我们所用的判断素数的算法（第五行到第十二行），最大可能的正约数不会超过根号n。求得n大约是31622。

然后我们就可以把1<=n<=31622内的素数打表来加速我们的计算。

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> prime;
//31622
int is_prime(int n)
{
    int k = floor(sqrt(n)+0.5);
    for(int i = 2; i <= k; i++){
        if(n%i==0)return 0;
    }
    return 1;
}
int divinum(int n){
    int sum = 1;
    unsigned k = 0;
    while(n>1&&k<prime.size()){
        int  t = 1;
        while(n%prime[k]==0){
            n/=prime[k];
            t++;
        }
        k++;
        sum*=t;
    }
    return sum;
}
int main(){
    int n;
    for(int i = 2; i <= 31622; i++){
        if(is_prime(i))
            prime.push_back(i);
    }
    cin >> n;
    while(n--){
        int L, U;
        cin >> L >> U;
        int max_factor = 0;
        max_factor = 0;
        int max_num = 0;
        for(int i = L; i <= U; i++){
            int k = divinum(i);
            if(k > max_factor){
                max_factor = k;
                max_num =i;
            }
        }
        printf("Between %d and %d, %d has a maximum of %d divisors.\n",L,U,max_num,max_factor);
    }
    return 0;
}