可持久化数据结构1

非持久化数据结构一般需要维护数据集最新状态，而可持久化要求查询历史状态。

可持久化Trie树

朴素：每次修改重新存一遍 $->MLE$。

正解：只存被修改部分，其余不变，即第 $i$ 次修改后，树变为第 $i$ 次修改产生新的部分加上前 $i-1$ 次修改产生部分。

增长同规模。

用普通线段树维护，$m$ 次操作，时间复杂度 $O(4n+mlo{g}_n)$。

可持久化线段树

例：单点修改，查询区间最大值

将 $a[x]$ 加上 $d$，从表示 $x$ 位置的叶子节点修改到根

修改时，对所有会被修改的点重开一树，树上未修改的点与新图父亲连边，被修改的点复制连边

更新 $p$ 节点时，若 $p$ 不为叶子，则其左右儿子之一也会被修改

假设 $ls$ 被更新，$ls$ 递归时，令 $p^{\prime }$ 左儿子为 $l{s}^{\prime }$，右儿子为 $rs$

空间复杂度 $O(4n+mlo{g}_n)$

由于树中每个点只有一个父亲，而可持久化线段树有多个根，所以只能用动态开点的方法编号

主席树（可持久化权值线段树）

区间第 $k$ 小：
$root[r]->$ 在值域区间 $[x,y]$ 的 $cn{t}_1$ 值

$root[l-1]->$ 在值域区间 $[x,y]$ 的 $cn{t}_2$ 值

插入次序在 $[l,r]$ 之间，且值域在 $[x,y]$ 之间数字个数：$cn{t}_1-cn{t}_2$

第 $i$ 棵线段树保存从第一次插入到第 $i$ 次插入信息

序列问题 $->$ 树上问题

$tree[i]$ 表示从根节点到 $i$ 的路径上信息（值域上区间和）

$tree[u]+tree[v]-tree[lca]-tree[fa(lca)]$

区间第 $k$ 小（带单点修改）：

线段树看成树状数组上一元素

设树状数组中下标 $i$ 所记录信息集合为 $S_i$，那么我们定义线段树 $T_i$ 是维护 $S_i$ 内信息的所有点的集合