15.连续随机变量、概率密度函数

1.定义

• 在概率论中，随机变量是指一个随机事件的数值表示，而连续随机变量是指其可能取值为一段连续的实数区间。

• 概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是用来描述连续随机变量的概率分布的函数。它描述了连续随机变量在不同取值处的概率密度，即随机变量落在该值附近的概率。与离散随机变量的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）不同，PDF 是一个连续函数。

• 对于一个概率密度函数 f(x)，它的性质应该满足以下两个条件：

  • 非负性：对于任意实数 x，概率密度函数的值都应该是非负的，即 f(x) ≥ 0。

  • 归一性：概率密度函数的积分在整个实数范围内等于1，即 ∫(-∞, ∞) f(x) dx = 1。

  +这里的 "∫[a, b] f(x) dx" 是概率密度函数在区间 [a, b] 上的积分，表示在区间 [a, b] 内随机变量 X 取值的概率。而归一性条件 ∫(-∞, ∞) f(x) dx = 1 表示整个实数轴上所有可能取值的概率之和为1，也就是说，随机变量 X 一定会取到某个值（无论具体是哪个值）的概率为1。

• 注意：对于单个点的概率，由于连续随机变量的取值是无穷多个点，概率密度函数在某一点 x 处的值 f(x) 并不代表该点的概率，而是一个密度值。在某个区间内的概率可以通过对该区间内的概率密度函数进行积分得到。

2.性质

• 概率密度函数具有以下性质：

  • 概率密度函数不会超过1：对于所有 x，0 ≤ f(x) ≤ 1。

  • 概率密度函数的积分为1：∫(-∞, ∞) f(x) dx = 1。在整个实数轴上的积分等于1。

  • 概率为零：对于单个点的概率，由于连续随机变量的取值是无穷多个点，因此在任意单个点上的概率为零，即 P(X = x) = 0，其中 x 是任意实数。所以概率为0的事件未必是不可能事件。概率为1的事件未必是必然事件。

  • 概率密度函数在非负区间上的积分为该区间内的概率：对于任意实数 a 和 b（a ≤ b），P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。

• 常见的连续随机变量的概率密度函数有正态分布、指数分布、均匀分布等。这些分布在统计学和概率论中有着广泛的应用。

3.举例

常见求导公式

下面列举了一些常见的求导公式，其中 f(x) 和 g(x) 是可导函数， n 是常数：

1. 常数的导数：
   d/dx (c) = 0，其中 c 是常数。

2. 幂函数的导数：
   d/dx (x^n) = n * x^(n-1)，其中 n 是常数。

3. 指数函数的导数：
   d/dx (e^x) = e^x。

4. 对数函数的导数：
   d/dx (ln(x)) = 1/x。

5. 三角函数的导数：

   • d/dx (sin(x)) = cos(x)。
   • d/dx (cos(x)) = -sin(x)。
   • d/dx (tan(x)) = sec^2(x)。
   • d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)。
   • d/dx (sec(x)) = sec(x) * tan(x)。
   • d/dx (csc(x)) = -csc(x) * cot(x)。

6. 反三角函数的导数：

   • d/dx (arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)。
   • d/dx (arccos(x)) = -1 / √(1 - x^2)。
   • d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
   • d/dx (arccot(x)) = -1 / (1 + x^2)。
   • d/dx (arcsec(x)) = 1 / (|x| * √(x^2 - 1))，其中 |x| * √(x^2 - 1) ≠ 0。
   • d/dx (arccsc(x)) = -1 / (|x| * √(x^2 - 1))，其中 |x| * √(x^2 - 1) ≠ 0。

7. 求导的乘积法则：
   d/dx (f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)，其中 f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数。

8. 求导的商法则：
   d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2，其中 f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数，且 g(x) ≠ 0。

9. 求导的链式法则：
   d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)，其中 f'(u) 和 g'(x) 分别是 f(u) 和 g(x) 的导数，u 是中间变量。

10. 函数相加的导数
    如果h(x) = f(x) + g(x) ，则 h'(x) = f'(x) + g'(x)。

11. 函数相减的导数：
    如果 h(x) = f(x) - g(x)，则 h'(x) = f'(x) - g'(x)。

12. 常数乘以函数的导数：
    如果 h(x) = c * f(x)，其中 c 是常数，那么 h'(x) = c * f'(x)。

13. 乘积法则：
    如果 h(x) = f(x) * g(x)，则 h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

14. 商法则：
    如果 h(x) = f(x) / g(x)，则 h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2，其中 g(x) ≠ 0。

15. 复合函数的导数（链式法则）：
    如果 h(x) = f(g(x))，则 h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。

16. 幂函数的导数：
    如果 h(x) = (f(x))^n，其中 n 是常数，那么 h'(x) = n * (f(x))^(n-1) * f'(x)。

17. 指数函数的导数：
    如果 h(x) = a^x，其中 a 是常数（a > 0 且 a ≠ 1），那么 h'(x) = a^x * ln(a)。

18. 对数函数的导数：
    如果 h(x) = log_a(x)，其中 a 是常数（a > 0 且 a ≠ 1），那么 h'(x) = 1 / (x * ln(a))。

19. 反三角函数的导数：

    • d/dx (arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)。
    • d/dx (arccos(x)) = -1 / √(1 - x^2)。
    • d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
    • d/dx (arccot(x)) = -1 / (1 + x^2)。
    • d/dx (arcsec(x)) = 1 / (|x| * √(x^2 - 1))，其中 |x| * √(x^2 - 1) ≠ 0。
    • d/dx (arccsc(x)) = -1 / (|x| * √(x^2 - 1))，其中 |x| * √(x^2 - 1) ≠ 0。

20. 对数函数的求导规则是：

    如果 y = log_a(x)，其中 a 是常数且 a > 0 且 a ≠ 1，那么 y 对 x 的导数是：

    dy/dx = 1 / (x * ln(a))

    这是对数函数求导的通用规则，无论底数是什么常数。底数 a 决定了对数函数的特定性质，但求导的结果是基于通用规则的。
    举例说明

    • 1.对数函数 y = log_2(x) 的导数：
      y = log_2(x)，其中底数 a = 2。根据求导规则，dy/dx = 1 / (x * ln(2))。

    • 2.对数函数 y = log_e(x)（或 y = ln(x)）的导数：
      y = ln(x)，其中底数 a = e (自然对数的底数)。根据求导规则，dy/dx = 1 / (x * ln(e)) = 1 / x。

    • 3.对数函数 y = log_10(x) 的导数：
      y = log_10(x)，其中底数 a = 10。根据求导规则，dy/dx = 1 / (x * ln(10))。

    • 在使用对数函数的求导规则时，请注意底数 a 必须为正数且不等于 1，否则求导结果将不适用。这些导数规则是在微积分中很常见且有用的工具，在解决各种问题时经常会用到。

• 注意："d/dx" 是微积分中表示对自变量 x 求导的记号。它代表对函数中的 x 进行求导操作，得到该函数关于 x 的导数。

  • 具体来说，如果有一个函数 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，那么 d/dx 表示对函数 y = f(x) 关于 x 求导的操作。

  • 例如，如果有函数 y = 3x^2，我们可以写成 y = f(x) = 3x^2。然后，对 y = f(x) 关于 x 求导，使用 d/dx 记号表示为 d/dx(3x^2)。这个求导的结果是：

  • d/dx(3x^2) = 6x

  • 所以，d/dx(3x^2) = 6x，表示函数 y = 3x^2 关于 x 的导数是 6x。这意味着在函数 y = 3x^2 中，当 x 变化时，y 的变化率是 6x。

• 在复杂的函数中，使用 d/dx 表示对整个函数关于 x 求导，它可以帮助我们更清晰地表示和理解导数的计算过程。

• 这些是一些常见的求导公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。在求导时，我们可以根据需要将这些规则进行组合和变换，以便求解更复杂的函数导数。

1.例子1

• 当0 <=x <= 2,此时f(x) = kx + 1，其他时候，f(x) = 0,求k
  • 要求常数 k，我们需要使用概率密度函数的性质，特别是概率密度函数的积分为 1。
  • 根据问题中给出的概率密度函数：
  • f(x) = kx + 1，当 0 ≤ x ≤ 2
  • f(x) = 0，其他时候
  • 我们可以首先确定 k 的值使得 f(x) 在区间 [0, 2] 上成为一个合法的概率密度函数。这要求在区间 [0, 2] 上，f(x) 必须是非负的，并且在整个实数轴上的积分等于 1。
  • 非负性条件：
    • 对于 0 ≤ x ≤ 2，要求 f(x) = kx + 1 ≥ 0。因此，对于 0 ≤ x ≤ 2，有 kx + 1 ≥ 0。
  • 积分为 1 的条件：
    • ∫[0, 2] f(x) dx = ∫[0, 2] (kx + 1) dx = 1
  • 积分为 1 的条件：∫[0, 2] (kx + 1) dx = 1
    • ∫[0, 2] (kx + 1) dx = [k * (x^2)/2 + x] |[0, 2] = (k * 2^2)/2 + 2 - (k * 0^2)/2 - 0 = 2k + 2
      将积分结果等于 1，解方程 2k + 2 = 1，k = -1/2
  • 所以，满足条件的常数 k 为 -1/2。将 k = -1/2 代入 f(x) 的定义中，可以得到概率密度函数 f(x) 如下：
    • f(x) = (-1/2)x + 1，当 0 ≤ x ≤ 2
    • f(x) = 0，其他时候
  • 请注意，在整个实数轴上的积分为 1：
    • ∫(-∞, ∞) f(x) dx = ∫(-∞, 0) 0 dx + ∫[0, 2] ((-1/2)x + 1) dx + ∫(2, ∞) 0 dx
    • = 0 + ∫[0, 2] ((-1/2)x + 1) dx + 0
    • = ∫[0, 2] ((-1/2)x + 1) dx = 1
    • 因此，满足概率密度函数性质的常数 k 为 -1/2。