8.条件概率

1.定义

条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。数学上，如果 A 和 B 是两个事件，并且 P(B) > 0，则在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率记作 P(A|B)，读作 "A 在 B 条件下的概率"，计算公式为：

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，而 P(B) 是事件 B 发生的概率。

条件概率的概念非常重要，在概率论和统计学中有着广泛的应用。它可以帮助我们根据已知信息，对未知事件的概率进行推断和计算。

2.举例

1到6的6个球，M表示取到的球是偶数，A表示1号球，B表示2号球，C表示球大于4

• 1.A的概率是

  • 1/6

• 2.在M已经发生的前提下，A发生的概率是

  • A 的概率是 P(A) = 0，因为 A 代表的是 1 号球，而 M 事件表示取到的球是偶数球，所以 1 号球不可能是偶数。

• 3.B的概率是

  • 1/6

• 4.在M已经发生的前提下，B发生的概率是

  • 在 M 已经发生的前提下，B 发生的概率是 P(B|M) = 1/3，因为在偶数球中有三个球是 2 号球、4 号球和 6 号球，总共有 6 个球，所以在 M 发生的前提下，B 发生的概率是 1/3。

• 5.C发生的概率是

  • C 的概率是 P(C) = 2/6 = 1/3，因为大于 4 的球有两个，即 5 号球和 6 号球，总共有 6 个球，所以概率是 1/3。

• 6在M发生的概率下，C发生的概率是

  • 在 M 发生的概率下，C 发生的概率是 P(C|M) = 2/3，因为在偶数球中有三个球是 2 号球、4 号球和 6 号球，而大于 4 的球有两个，即 5 号球和 6 号球，总共有 6 个球，所以在 M 发生的前提下，C 发生的概率是 2/3。

3.性质

• 条件概率的非负性

  • 即对于任意事件 A 和 B，有 P(A|B) ≥ 0。这意味着在事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率始终是非负数，不会为负。

  • 对于条件概率 P(A|B)，它表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。因此，条件概率的值应该大于等于 0，因为事件 B 已经发生了，所以事件 A 发生的概率不应该是负数。

  • 在B发生的前提下Ω发生的概率是1。P(Ω|B) = 1

• 乘法规则：条件概率的乘法规则表示 P(AB) = P(B) * P(A|B)。P(AB) = P(A)P(B|A)

  • P(AB) = P(B) * P(A|B)：表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 B 发生的概率乘以在 B 已经发生的前提下 A 发生的概率。

  • P(AB) = P(A) * P(B|A)：表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以在 A 已经发生的前提下 B 发生的概率。

  • P(ABC) = P(A) * P(B|A) * P(C|AB)

  • 这个公式表示事件 A、B 和事件 C 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以在事件 B 已经发生的前提下事件 A 发生的条件概率，再乘以在事件 A 和事件 B 同时发生的前提下事件 C 发生的条件概率。

  • 可以这样理解假如需要走三步：每一步走正确，P(A)表示第一步正确，P(B|A)表示在第一步走正确的前提下走第二步，P(C|AB)表示在一二步正确的前提下走第三步。

  • 请注意，这个公式只适用于事件 A 和事件 B 不是互斥的情况。如果事件 A 和事件 B 是互斥的，即 P(AB) = 0，那么 P(ABC) 也为 0，因为在这种情况下事件 A 和事件 B 不能同时发生，所以与事件 C 同时发生的概率也为 0。

4.举例

1.例子1

• 产品一百件，次品率是10%，不放回，第三次才取合格品的概率

  • 总共有100件产品。

  • 次品率是10%，所以次品的数量是100 * 0.1 = 10件。

  • 合格品的数量是100 - 10 = 90件。

  • 不放回取样意味着每次取到的产品都不会放回，所以下一次取样的概率会受到前一次取样的影响。

  • 现在我们来计算第三次才取到合格品的概率。

  • 第一次和第二次都取到次品，第三次取到合格品的概率：

  • 第一次取到次品的概率是 10/100。

  • 第二次取到次品的概率是 9/99（因为已经取走了一件次品，所以剩余次品数量为9，总数减1）。

  • 第三次取到合格品的概率是 90/98（因为已经取走了一件次品和一件合格品，所以剩余合格品数量为90，总数减2）。

  • 所以第一种情况的概率是 (10/100) * (9/99) * (90/98)。

  • 或者这样A1A2A3表示三次取到的合格品

  • P(A1⁻A2⁻A3) = P(A1⁻)P(A2⁻A1⁻)P(A3A1⁻A2⁻) = 10/100 * 9/99 * 90/98

2.例子2

• 甲灯泡60%，乙灯泡40%，甲合格率90%，乙合格率是80%
• 1.是甲合格的概率
  • 假设A是甲，A⁻是乙，B是合格的，B⁻就是不合格的。
  • 所以就是P(AB) = P(A)P(B|A) = 0.6 * 0.9 = 0.54。为什么不用P(B)(PA|B),P(B)是合格的概率，题目中给的是甲和乙的合格率，所以用第一种。P(A|B),表示得意思是首先是合格，然后是甲的概率，和首先是甲然后是合格不是一回事。
• 2是乙合格的概率
  • P(A⁻B) = P(A⁻)P(B|A⁻) = 0.4 * 0.8 = 0.32。

3.例子3

• 一共10张签，4张难签，甲乙丙三人抽签
• 1.甲抽到难签的概率
  • 假设ABC表示甲乙丙抽到难签。P(A) = 4/10
• 2.甲乙都是难签的概率
  • 假设ABC表示甲乙丙抽到难签。P(AB) = P(A)P(B|A) = 4/10 * 3/ 9
• 3.甲容易签乙难签的概率
  • 假设ABC表示甲乙丙抽到难签。P(A⁻B) = P(A⁻)P(B|A⁻) = 6/10 * 4/9
• 4.甲乙丙难签的概率
  • 假设ABC表示甲乙丙抽到难签。P(ABC) = P(A)(B|A)P(C|AB) = 4/10 * 3/9 * 2/8