浅谈树状数组（解析+模板）
也不知道是什么时候开始，对于曾经学过的算法都不太用了
遇到区间修改，区间最值就知道用线段树，什么树状数组啊，st表啊都忘得差不多了
最近几次模考被卡翻了，于是又想起这些老朋友
来填个坑
首先我们要明确一点，树状数组只能维护求和，不能维护区间最值
树状数组利用了分治的思想，层数为logn，所以查询和修改都是logn，总复杂度为询问次数m乘logn
也就是mlogn，最关键的是和线段树比起来，常数要小得多，跑的飞快
而空间复杂度则是n的，只用开一维，还不用结构体
但是树状数组的应用范围也相对较小
通常分为两种
（1）单点修改+取件查询
（2）区间修改+单点查询
具体为什么，我们一会儿会说到
首先来张图片吧
这是比较流行的一种图
显而易见，树状数组是上面的C数组，而下面的A则是全数组，练出来的线代表每个节点的值是由那几个点组成的
例如：C[4]=C[2]+C[3]+A[3]
而我们如何找到组成当前节点的每一个点呢，或者说如何找到当前点的父亲呢
这就引出了我们今天的重中之重
lowbit函数
来看一下这个函数长什么样子
int lowbit(int x){return x&(-x);}
对的，只要压一下行就只有一行的小小的函数，就是整个树状数组的核心了
虽然短，但是蕴含的内容却很不好理解，这个函数所求的是x化为二进制之后从末尾开始一共有几个零
x加上这个数之后，就得到了他的父亲节点的下标
减去这个数之后，就得到了上一个与x的子树不相交的根节点（因为建立是就是这样定义的）
具体的原因与二进制中的补码有关，我们在这里就不详细说了，当个模板来背即可
例如上图中，6+2=8 6-2=4
而这两种不同的运算也就对应了树状数组中的两种操作
操作一：单点修改
首先我们可以知道当前要修改的点在原数组中的下标i，同时知道要加上（减去）的值v
根据lowbit函数的定义我们可以知道，包含原数组中的值的节点的下标不可能小于原数组的下标
同时改变某个点的值只会对其父亲有影响，所以理所应当的加上lowbit(i)，直到根节点
对于经过的每个节点，将权值加上v
void build(int i,int v){for(;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=v;}
同样是压行之后只有一行
操作二：区间查询
和树状数组的含义有关，当前的树状数组中存的是类似于前缀和的东西
所以我们很难得到一段区间的值，但是我们可以知道从1到x的值
假设要查询的区间为[x,y]，我们可以得到a[1]+a[2]+……+a[x-1]，也可以同理得1到y
做一下差会可以了
具体的实现流程就是从当前点开始，不断减去lowit(i)，知道节点1，将路径上的每一个点的值累加
特别一题，树状数组中的下标不能为0，否则lowbit函数就会炸掉
放一下操作代码（同样很简洁，这也是树状数组的优点之一）
int solve(int i){ int sum=0; for(;i>=1;i-=lowbit(i)) sum+=c[i]; return sum; }
以上就是树状数组的单点修改和区间查询
来一道完整的题：树状数组模板1
附上AC代码：
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} inline int rd(){ int x=0,f=1; char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1; for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; return x*f; } inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); return ; } int n,m; int c[500006]; int lowbit(int x){return x&(-x);} void build(int i,int v){for(;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=v;} int solve(int i){ int sum=0; for(;i>=1;i-=lowbit(i)) sum+=c[i]; return sum; } int main(){ n=rd(),m=rd(); for(int i=1;i<=n;i++){ int x=rd(); build(i,x); } for(int i=1;i<=m;i++){ int f=rd(); int x=rd(),y=rd(); if(f==1) build(x,y); else write(solve(y)-solve(x-1)),puts(""); } return 0; }
然后就是一个小小的修改了
如何用树状数组来维护区间修改+单点查询
大家可以先自己想一想（反正我当时是没有想出来的）
不太会的同学不要担心
因为这里的树状数组和我们刚才讲的不太一样
哪里不一样呢，就是这里的C数组不是用来存和的
而是被用来存一个叫做差分的东西
什么是差分呢，就是对于一个数组
我们不维护每个地方的值，而是维护一个前缀和
使得从下标1加到下标x，就刚好可以得到原组的第x个元素
虽然查询变慢了，但是区间修改只需要O(1)的时间
为什么如此神奇呢，我们来举个例子
现在我们需要将2到4的区间加上1
我们就把差分数组下标为2的地方加1，下标为4+1的地方减1
就变成了：
计算前缀和，得到序列0 1 1 1 0 0 和原数组保持一致
是不是很神奇呢
而区间修改则是用树状数组来维护差分
虽然把修改变成了logn
但是相应的，单点查询也变成了logn
看似血亏，实则血赚
经过了上文的讲解，这里的具体操作我就不赘述了
再来一道题：树状数组模板2
附上AC代码：
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} inline int rd(){ int x=0,f=1; char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1; for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; return x*f; } inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); return ; } int n,m; int c[500006]; int lowbit(int x){return x&(-x);} void build(int i,int v){for(;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=v;} int solve(int i){ int sum=0; for(;i>=1;i-=lowbit(i)) sum+=c[i]; return sum; } int main(){ n=rd(),m=rd(); int set=0; for(int i=1;i<=n;i++){ int x=rd(); build(i,x-set); set=x; } for(int i=1;i<=m;i++){ int f=rd(); if(f==1){ int x=rd(),y=rd(),k=rd(); build(x,k);build(y+1,-k); } else{ int x=rd(); write(solve(x)),puts(""); } } return 0; }
总而言之，树状数组还是很好的一种数据结构
只要利用得当，每一种数据结构都能够焕发出耀眼的光芒，给代码带来无限生机
