浅谈Tarjan缩点（分析+模板）
昨天一看发现我的博客数量到100篇了，撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
根据标题我们也知道，想要在接下来的十分钟不浪费生命
读者需要先行学习Tarjan强联通分量
如果不会的话可以点击这里：https://www.cnblogs.com/WWHHTT/p/9744658.html
好的，现在我们就假设大家都知道了Tarjan，来看看如何利用Tarjan缩点
在学习如何写代码之前，我们必须要先弄明白什么是缩点
也就是定义
百度百科上并没有给出详细解释，我就来总结几句
缩点就是把一个有向图中的强联通分量转换成一个点
转换完之后的图是一个DAG（有向无环图）
通常用来解决图中具有传递性的问题（还有最大值和乘法原理）
我们来举个例子吧
上面这个图中，圆里的是编号，红色的是点的权值，箭头代表边的方向
这个图缩点之后是这样的
符号所表示的东西不变，原来的2,3,4变成了现在的2，原来的5是现在的3
是不是感觉没有多难，下面我来带大家看一下具体的实现流程
分为两步：
1.求出图中的强联同分量，并转化为点
2.将转化出来的新的点建成一个新的图
step1:
如何求出强联通分量就不多说了（不会的去看上面的链接）
每一种强联通分量会缩成一个点，这个店的编号我们就定为发现它的顺序，也就是染上的颜色
每一种颜色（一个强联通分量）对应一个点
但是要在中间加一个操作，用来计算一个联通分量的所缩成的点的点权（看注释）
void Tarjan(int x,int fa){//Tarjan模板 low[x]=dfn[x]=++tot; sta[++size]=x; book[x]=1; for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){ if(!dfn[to1[e]]){ Tarjan(to1[e],x); low[x]=min(low[x],low[to1[e]]); } else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]); } if(dfn[x]==low[x]){ color[x]=++color_cnt; v2[color_cnt]=v[x]; book[x]=0; while(sta[size]!=x){ color[sta[size]]=color_cnt; book[sta[size]]=0; v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//这个点的权值的计算，根据题目来确定 size--; } size--; } return ; }
step2:
建图的边怎么练一直是个难点，首先可以确定的是因为原来的强连通分量已经变成一个个的点了
所以肯定无法照搬原图
但也不可能自创，所以需要判断，从原来的图上选择那些边
选边的原则是不能是一个强连通分量里的边
也就是说别的边都可以选
那么有的人就问了，缩完点之后不担心友谊重边吗
这很好处理，用邻接矩阵来存（不推荐），或者在之后的程序中标记都可以
特别提到，印的图要用一个新的邻接表来存
而且要连接的不是原来的点，而是两个点被染成的颜色
代码实现的话很简单，循环和dfs都可以，这里我们采用循环（代码量较小）
void change(){ for(int i=1;i<=n;i++){ for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){ if(color[i]!=color[to1[e]]) add2(color[i],color[to1[e]]); } } return ; }
那么最后我们来总结一下代码
先给一组数据：（对应上面的图）
5 5 //点的数量 边的数量
1 1 1 1 1 //点权
1 2 //边
2 3
3 4
4 2
2 5
输出：
3 //新的点的数量
1 3 1 //新的点的权值
下面给出代码：
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} inline int rd(){ int x=0,f=1; char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1; for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; return x*f; } inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); return ; } int n,m; int v[100006]; int head1[100006],nxt1[200006],to1[200006]; int total1=0; void add1(int x,int y){ total1++; to1[total1]=y; nxt1[total1]=head1[x]; head1[x]=total1; return ; } int dfn[100006],low[100006]; int color[100006]; int tot=0; int color_cnt=0; int book[100006]; int sta[100006]; int v2[100006]; int size=0; void Tarjan(int x,int fa){//Tarjan模板 low[x]=dfn[x]=++tot; sta[++size]=x; book[x]=1; for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){ if(!dfn[to1[e]]){ Tarjan(to1[e],x); low[x]=min(low[x],low[to1[e]]); } else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]); } if(dfn[x]==low[x]){ color[x]=++color_cnt; v2[color_cnt]=v[x]; book[x]=0; while(sta[size]!=x){ color[sta[size]]=color_cnt; book[sta[size]]=0; v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//这个点的权值的计算，根据题目来确定 size--; } size--; } return ; } int head2[100006],nxt2[200006],to2[200006]; int total2=0; void add2(int x,int y){ total2++; to2[total2]=y; nxt2[total2]=head2[x]; head2[x]=total2; return ; } void change(){ for(int i=1;i<=n;i++){ for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){ if(color[i]!=color[to1[e]]){ add2(color[i],color[to1[e]]);//将两个点连边 } } } return ; }int main(){ n=rd(),m=rd(); for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=rd();//得到点权 for(int i=1;i<=m;i++){ int x=rd(),y=rd(); add1(x,y);//有向边 } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i,0); change(); int ans=0; printf("%d\n",color_cnt); for(int i=1;i<=color_cnt;i++){ printf("%d ",v2[i]); } return 0; }
