埃及筛素数+欧拉筛函数
线性筛素数:
prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j],那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小,即i=k*prime[j],那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime[j+1]=k’*prime[j],接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此,在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次
满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。
const int maxn = 10010, INF = 0x7fffffff; int prime[maxn+1]; void get_prime() { mem(prime, 0); for(int i=2; i<=maxn; i++) { if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i; for(int j=1; j<=prime[0] && prime[j] <= maxn/i; j++) { prime[prime[j]*i] = 1; if(i % prime[j] == 0) break; } } }
线性欧拉函数
该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。
需要用到如下性质(p为质数):
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p,故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i) 证明如下
(上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)
上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i],若整数n不与i互质,n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明:若整数n与i互质,n+i与i依然互质
3.若i mod p ≠0, 那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)
i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质
const int maxn = 10010;
int prime[maxn], phi[maxn];
bool vis[maxn];
int ans;
void get_prime()
{
ans = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i = 2; i < maxn; i++)
{
if(!vis[i]) prime[++ans] = i;
for(int j = 1; j <= ans && prime[j] * i < maxn; j++)
{
vis[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
void get_phi() { ans = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); for(int i = 2; i < maxn; i++) { if(!vis[i]) prime[++ans] = i, phi[i] = i - 1; for(int j = 1; j <= ans && prime[j] * i < maxn; j++) { vis[i * prime[j]] = 1; if(i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; } else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } }
时间差距
when n = 10000 eratosthenes_sieve(1229): 0(us) euler_sieve(1229): 0(us) when n = 100000 eratosthenes_sieve(9592): 999(us) euler_sieve(9592): 0(us) when n = 1000000 eratosthenes_sieve(78498): 13004(us) euler_sieve(78498): 7004(us) when n = 10000000 eratosthenes_sieve(664579): 185130(us) euler_sieve(664579): 79067(us) when n = 100000000 eratosthenes_sieve(5761455): 2363692(us) euler_sieve(5761455): 842592(us) when n = 1000000000 eratosthenes_sieve(50847534): 25535159(us) euler_sieve(50847534): 8987385(us)
转载自大佬们
https://www.cnblogs.com/Miroerwf/p/7776390.html
https://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651
https://blog.csdn.net/codertcm/article/details/82902978
自己选择的路,跪着也要走完。朋友们,虽然这个世界日益浮躁起来,只要能够为了当时纯粹的梦想和感动坚持努力下去,不管其它人怎么样,我们也能够保持自己的本色走下去。