Singular Value Decomposition（奇异值分解）

1. 简介

SVD是将矩阵A分解为U，∑和V三个矩阵，如下：

 

 

假设矩阵A是一个6行4列的矩阵，则SVD分解如下：

 

 

其中：

VT是一个行向量正交矩阵，即其中任意两个行向量vi正交；

∑是对角矩阵，对角线上有n个非零值（n等于矩阵A的秩），∑矩阵其它位置均为0；例子中矩阵A的秩为3，所以∑对角线上只有3个非零值分别为s1,s2,s3，三者被称为矩阵A的奇异值；

U是一个列向量正交矩阵，即其中任意两个列向量ui正交；

2. 意义解析

奇异值分解相当于对矩阵A在另一个空间Rx的解析/表达，其中：

矩阵V中的正交向量vi是Rx空间的一组正交基；

∑对角线上的值si代表数据在Rx空间对应基vi方向上的差异度；如s1对应v1，s2对应v2，s3对应v3；si越大代表数据在vi方向上区分度越高；

矩阵U中每一行R_ui代表矩阵A中对应的行R_ai在Rx空间中的表达；上例中，U中每一行是一个6维向量，但矩阵A的秩为3，所以U中每一行的前3维（即蓝色的u1，u2，u3维）即可代表A的对应行在Rx空间中的信息；

因为∑空间对角线上的值si代表数据在Rx空间基vi方向上区分度，或者说“重要度”，值越大越重要，所以可以将si较小的值置零，然后经U∑VT运算得矩阵A’（ A’的shape和A的shape相同），矩阵A’保留了原矩阵A的绝大部分信息（同时去除了原矩阵A数据中的大量噪音）；

3. 示例

以一个图片数据进行SVD为例，原图片如下，表达图片的数据矩阵A为400X400；

 

 

将A分解为U∑VT，保留∑中最大的1个值，得到还原矩阵A’代表的图像如下：

 

 

保留∑中最大的2个值，得到还原矩阵A’代表的图像如下

 

 

保留∑中最大的10个值，得到还原矩阵A’代表的图像如下

 

 

保留∑中最大的50个值，得到还原矩阵A’代表的图像如下

 

 

4. SVD和PCA的关系：

 

 

由上式可得，SVD求得的V矩阵就是PCA的特征向量矩阵，而∑矩阵中的奇异值的平方就是PCA的特征值；而实际PCA通常就是通过SVD求解的；

 

 

 

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

其中 是一个 矩阵， 是一个 维向量，则 是矩阵 的一个特征值，而 是矩阵 的特征值 所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值 ，以及这 个特征值所对应的特征向量 ，

那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足 ，或者 ，此时W的

n个特征向量为标准正交基，满足 ，即 ，也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。

那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

其中 是一个 的矩阵， 是一个 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， 是一个 的矩阵。 和 都是酉矩阵，即满足

。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵 。既然 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

这样我们就可以得到矩阵 的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将 的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵 。既然 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

这样我们就可以得到矩阵 的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将 的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了.

由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而

的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

上式证明使用了 。可以看出 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

这样也就是说，我们可以不用 来计算奇异值，也可以通过求出 的特征值取平方根来求奇异值。

 

SVD用于PCA

PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 ，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵 最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：

可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。

左奇异矩阵可以用于行数的压缩。

右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。