EXCRT X问题 HDU - 1573

X问题

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Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

 

 

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

 

 

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

 

 

Sample Input

3 10 3 1 2 3 0 1 2 100 7 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 10000 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

 

Sample Output

1 0 3

 

 

Author

lwg

 

 

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

 

 

Recommend

linle

 

 crt是处理除数互质的情况

excrt是处理除数可以不互质的情况

EXCRT就是循环使用exgcd

由前两个方程求出一个解 然后再用这个解和下一个方程求解 一直到头

贴一个聚聚的代码

因为他有讲解。。。https://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10296577

还有一个详解edgcd的 https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8425731.html

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{//a*x+b*y=gcd(a,b)=d;(x,y)为其一组整数解
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{ gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int main()
{
    int n,m,m1,r1,m2,r2,flag=0,a[11],b[11],T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        int i,j,k,d,x,y,c,t;
        for(i=0;i<m;i++)
            cin>>a[i];
        for(i=0;i<m;i++)
            cin>>b[i];
        flag=0;
        m1=a[0];r1=b[0];
        for(i=1;i<m;i++)
        {
            m2=a[i];r2=b[i];
            if(flag)continue;
            gcd(m1,m2,d,x,y);//d=gcd(m1,m2);x*m1+y*m2=d;
            c=r2-r1;
            if(c%d)//对于方程m1*x+m2*y=c，如果c不是d的倍数就无整数解
            {
                flag=1;
                continue;
            }
            t=m2/d;//对于方程m1x+m2y=c=r2-r1,若(x0,y0)是一组整数解,那么(x0+k*m2/d,y0-k*m1/d)也是一组整数解(k为任意整数)
                    //其中x0=x*c/d,y0=x*c/d;
            x=(c/d*x%t+t)%t;//保证x0是正数，因为x+k*t是解，(x%t+t)%t也必定是正数解(必定存在某个k使得(x%t+t)%t=x+k*t)
            r1=m1*x+r1;//新求的r1就是前i组的解，Mi=m1*x+M(i-1)=r2-m2*y(m1为前i个m的最小公倍数);对m2取余时，余数为r2；
                        //对以前的m取余时，Mi%m=m1*x%m+M(i-1)%m=M(i-1)%m=r
            m1=m1*m2/d;
        }
        if(flag||n<r1)cout<<0<<endl;
        else
        {
            int ans=(n-r1)/m1+1;//m1为ai的最小公倍数，凡是m1*i+r1的都是符合要求的数，其中r1最小
            if(r1==0)ans--;//要求是正整数
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}
/*
    中国剩余定理的普通情况：ai不一定相互互质
*/

 

excrt处理除数不互质情况

循环使用exgcd

先由前两个方程求出解  由此构建一个方程

方程的b 为求出的解

a为前两个方程a的最小公倍数

构建的方程再与下一个方程求解 依此循环

 

即

b_i ^'= a_{i - 1} * x + b_{i - 1}

a_i ^'= (a_{i - 1} * b_{i - 1}) / d;

最后求出a_i^' 和 b_i^'

任何a_i^' * j + b_i^'  （j <= 0）都是符合要求的解