字符串不会一点

每次讲字符串杂题都发现自己忘光了。

本文章用于我个人字符串专题重生。

二分+哈希

咕

AC 自动机

咕

SAM

说文解字 : SAM = Suffix AutoMation（后缀自动机）

即一个可以表示字符串所有后缀的自动机。具体的，一个 SAM 是一个有一个确定的源点和不同终止节点的有向无环图。同时，SAM 是一个在线构造的自动机。即每次添加一个字符。我们可以通过将从源点走向终止节点的路径上的边（转移）对应的字符拼起来得到字符串所有的后缀。

显然的，由于我们每次走一条边得到了所有的后缀，我们在走边的过程中也一定走了所有的后缀的所有前缀。因此 SAM 中也包含了字符串的所有子串。这也使得它非常强大。

endpos 与 SAM 的基本形式

我们在这里要引入一个概念叫 $\text{endpos}$ 集合。

我们规定，$S$ 一个子串 $T$ 在 $S$ 中所有出现位置的终止位置的集合。

• 在 aabab 中子串 $\text{endpos}(\text{ab}) = \{3,5\}$

试探究一下这玩意的性质，发现：

• 若子串 $S'$ 为子串 $S$ 的一个后缀，那么一定有 $\text{endpos}(S) \subseteq \text{endpos}(S')$

• 不妨设 $|S| < |T|$ 则 $\text{endpos}(S)$ 与 $\text{endpos}(T)$ 有交 $\Longleftrightarrow$ $S$ 是 $T$ 的一个后缀。

• 

• 对于一个 $\text{endpos}$ 集合 $S$，发现所有 $\{|T|,\text{endpos}(T) = S\}$ 连续不重复。且把它们按长度排序，前一个是后一个的后缀。

• 将所有子串按照它们的 $\text{endpos}$ 集合分为若干等价类。考虑拎出一个等价类中长度最大的子串 $S$，则可以发现 $S$ 前加上任意一个字符都会转移到另外一个 $\text{endpos}$ 等价类。根据前面的推导，发现 $\text{endpos}(S') \subset \text{endpos}(S)$。于是便构成了一个树形结构。

• 这里我们对应回 OI-Wiki 上的说法，给出一个定义后缀链接 $\text{link}(u)$ 对应到 $u$ 这个等价类中最短的那个子串再删去那个字串开头的字符所得到的子串对应的等价类。显然的，将所有等价类按照 $\text{link}(u)$ 连边会形成一个树形结构。

• 如上图，这是一个对于字符串 abcbc 构建的 SAM。 比方说对于 $\text{endpos} = {4}$ 的等价类来说，对应的长度最小的子串为 cbc。则将这个等价类的 $\text{link}$ 设为 bc 对应的等价类。

• 至此我们获得了一个节点数和边数均为 $O(n)$ 级别的优秀自动机。

构建一个 SAM