期望

定义式 \(E(x) = \sum \limits_{i}P(x=i)*i\)

即随机变量 \(x\) 结果为 \(i\) 的概率乘上结果。

拆开来 \(E(x) = \sum \limits_{i>0}P(x=i)*i + \sum \limits_{i<0}P(x=i)*i\)

只看前一部分，\(E(x) = \sum \limits_{i\geq0}P(x=i)*i\)。

将 \(i\) 看成若干个 \(P_i\) 相加。

得到 \(E(x) = \sum\limits_{i=1}\limits^{\infty}\sum \limits_{j=i}\limits^{\infty}P(x=j)\)

单独看 \(\sum \limits_{j=i}\limits^{\infty}P(x=j)\) 这部分。这相当于 \(P(x\geq i)\).

至此，于是我们得到了一个相当好看的式子：

\(E(x) = \sum \limits_{i \geq 0}P(x > i) - \sum\limits_{i \leq 0}P(x<i)\)

这也就是7月份集训时zz大佬课件里面我一直搞不懂的东西。

期望具有线性性。

\(E(ax+by) = aE(x)+bE(y)\)