[学习笔记] 杜教筛

暑期的学习开始了，今天先来讲一下杜教筛吧（反演的坑以后再填。。。

核心公式：

我们设\(\begin{aligned}S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f * g)_ {(i)}\end{aligned}\)，且\(g\)为一个完全积性函数。

那么可以得到：

\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n((f* 1)_ {(i)}\times g)=\sum_{i=1}^ng(i)\times S(\lfloor\frac n i\rfloor)\end{aligned}\)

证明：

\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n((f* 1)_ {i}\times g)&=\sum_{i=1}^ng(i)\times\sum_{d|i}f(d)\\&=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor}g(id)\times f(d)\\&=\sum_{d=1}^ng(i)\times g(d)\times f(d)\\&=\sum_{d=1}^ng(d)\times S(\lfloor\frac n d\rfloor)\end{aligned}\)

证毕

具体实现：

• \(\mu\)函数求前缀和：

  根据\(\mu* 1=\epsilon\)，将\(\epsilon\)作为\(S\)、\(\mu\)作为\(f\)、\(1\)作为\(g\)代入上述公式，得到：\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\epsilon(i)=\sum_{d=1}^n1(d)\times S(\lfloor\frac n d\rfloor)\end{aligned}\)

  把\(d=1\)拿出来，再化简得：\(\begin{aligned}1=S(n)+\sum_{d=2}^nS(\lfloor\frac n d\rfloor)\end{aligned}\)

  移个项，得：\(\begin{aligned}S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\lfloor\frac n d\rfloor)\end{aligned}\)

• \(\varphi\)函数求前缀和：

  根据\(\varphi* 1=id\)得到：

  \(\begin{aligned}S(n)=\frac{n\times(n+1)}{2}+\sum_{d=2}^nS(\lfloor\frac n d\rfloor)\end{aligned}\)