【W的AC企划 - 第三期】二分与三分算法
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讲解与模板
整数域二分算法
\(\mathcal O(\log N)\) 的复杂度使得其应用极为广泛，除了手写二分函数外，还有一些库函数可以使用：
lower_bound(x)：返回大于等于 \(x\) 的第一个迭代器；upper_bound(x)：返回大于 \(x\) 的第一个迭代器；binary_search(x)：在容器中二分查找 \(x\) 是否存在。
我的旧版模板参考自Acwing，该版本无法计算负数，分为两个部分：
在递增序列 \(a\) 中查找 \(\geq x\) 数中最小的一个（即 \(x\) 或 \(x\) 的后继）：
while (l < r) {
int mid = (l + r) / 2;
if (a[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return a[l];
在递增序列 \(a\) 中查找 \(\leq x\) 数中最大的一个（即 \(x\) 或 \(x\) 的前驱）：
while (l < r) {
int mid = (l + r + 1) / 2;
if (a[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return a[l];
新的模板需要记录答案，也分为两个部分：
在递增序列 \(a\) 中查找 \(\geq x\) 数中最小的一个（即 \(x\) 或 \(x\) 的后继）：
while (l <= r) {
int mid = (l + r) / 2;
if (judge(mid)) {
r = mid - 1;
ans = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return ans;
在递增序列 \(a\) 中查找 \(\leq x\) 数中最大的一个（即 \(x\) 或 \(x\) 的前驱）：
while (l <= r) {
int mid = (l + r) / 2;
if (judge(mid)) {
l = mid + 1;
ans = mid;
} else {
r = mid - 1;
}
}
return ans;
实数域二分算法
引入了实数后需要考虑精度问题，目前主流的写法是限制二分次数，当然也可以使用浮点数比较法，这里两种都列出。
for (int t = 1; t <= 100; t++) {
long double mid = (l + r) / 2;
if (judge(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
cout << l << endl;
while (r - l > EPS) {
long double mid = (l + r) / 2;
if (judge(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
cout << l << endl;
整数域三分算法
三分的一大运用便是求解函数的极值点，虽然很高大上但是实际写起来并不复杂，基本与二分一致。
while (l < r) {
int mid = (l + r) / 2;
if (check(mid) <= check(mid + 1)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
cout << check(l) << endl;
实数域三分算法
同样有两种写法，这里展示限制次数法。
ld l = -1E9, r = 1E9;
for (int t = 1; t <= 100; t++) {
ld mid1 = (l * 2 + r) / 3;
ld mid2 = (l + r * 2) / 3;
if (judge(mid1) < judge(mid2)) {
r = mid2;
} else {
l = mid1;
}
}
cout << l << endl;
题单与部分题解
注：二分的题实在太多了，此后我不再单独记录。
AcWing 789. 数的范围：整数域二分
题意：给出一个递增序列，然后有 \(Q\) 次询问，每个询问包含一个数字 \(x_i\) ，对于每个询问，输出 \(x_i\) 在序列中第一次出现的下标和最后一次出现的下标。
思路：建立模型，第一次出现的下标即为查找左边界的位置；最后一次出现的下标则同理。
P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头：整数域二分
题意：河上有一些石头，选手需要跳石头过河。现在，至多可以移走 \(K\) 块石头，请你输出最短跳跃距离的最大值。
思路：显然，移走越多的石头，答案一定越大。二分“跳跃距离”，找到符合条件（至多移走 \(K\) 块石头）的最大跳跃距离。建立模型，即为查找右边界。满足 l = mid 条件的情况是“跳跃距离小”，而跳跃距离越小移走的石头数量越少，所以满足该条件的情况是 judge[mid] <= K 。
P1182 数列分段 Section II：整数域二分
题意：有一个由正整数构成的序列，现在，你需要将这个序列划分为 \(K\) 段，使得每段和的最大值最小。
思路：二分“每段和的最大值”，找到符合条件（恰好划分成 \(K\) 段）的最小值。建立模型，即为查找左边界。注意，满足 r = mid 条件的情况是“和大”，而和越大段数越少，所以满足该条件的情况是 judge[mid] <= K 。
P1824 进击的奶牛：整数域二分
题意：有 \(N\) 个牛棚，已知每个牛棚的位置，现在需要将 \(M\) 头牛安置进去，请你给出一个最佳方案，使得牛们彼此的最近距离最大，直接输出这个值。
思路：二分“距离”，找到符合条件（ \(M\) 头牛）的最大值。建立模型，即为查找右边界。注意，满足 l = mid 条件的情况是“距离小”，而牛越多距离越小，所以满足该条件的情况是 judge[mid] >= M 。
P7585 [COCI2012-2013#1] LJUBOMORA：整数域二分
题意：有 \(M\) 种颜色不同数量不同的弹珠要分给 \(N\) 个孩子，每个孩子得到的弹珠颜色必须相同，输出分到弹珠最多的孩子的最小值。
思路：二分“分到的弹珠数量”，找到符合条件（恰好分给 \(N\) 个孩子）的最小值。建立模型，即为查找左边界。注意，满足 r = mid 条件的情况是“分到的弹珠数量多”，而分到的越多分给的人数越少，所以满足该条件的情况是 judge[mid] <= N 。
P3853 [TJOI2007]路标设置：整数域二分
题意：路上有一系列路标，现在至多可以增设 \(K\) 个路标，使得相邻路标的最大距离最小，输出这个距离。
思路：显然，增设的路标越多，最大距离的最小值越小。二分“距离”，找到符合条件（至多增设 \(K\) 个路标）的最小值。建立模型，即为查找左边界。注意，满足 r = mid 的条件的情况是”距离大“，而距离越大增设的路标数量越少，所以满足该条件的情况是 judge[mid] <= K 。
P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树：整数域二分
题意：已知 \(N\) 棵树的高度，你可以设定一个高度 \(H\) ，然后你可以得到高于 \(H\) 部分的木头。现在，至少需要砍伐 \(M\) 米长的木材，输出 \(H\) 的最大值。
思路：二分“高度 \(H\) ”，找到符合条件（至少得到 \(M\) 米木材）的最大值。建立模型，即为查找右边界。注意，满足 l = mid 条件的情况是”高度H小“，而高度越小得到的木材长度越长，所以满足该条件的情况是 judge[mid] >= M 。
past202010_i - ピザ：前缀和、实数域三分
由于要求解的函数式为 \(|X-Y|\)、且 \(X+Y\) 的值固定，显然，随着 \(X\) 上升，\(Y\) 不停下降，满足三分性质。
1059D：实数域三分
比较板的三分求极值，但是方程的推导需要花点时间，可以 参考 。
106E：实数域三分套三分套三分
思路不难，实现较为复杂，建议做做看，因为三分套三分的误差限定是很重要的知识点。
