Codeforces - 1244C - The Football Season（暴力 + 数学规律 + 数论 / *2000）
1244C - The Football Season（⇔源地址）
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⇔暴力、⇔数学规律、⇔数论、⇔*2000
题意
已知方程 \(\left\{\begin{matrix} x*w+y*d=p \\ x+y+z=n\end{matrix}\right.\) ，且满足 \(d<w\) ，求解一组正整数解 \(\{x,y,z\}\) 。
思路
暴力解（枚举）
第一个突破口很好看出来：由于一式与 \(z\) 无关，故 \(z\) 可以暂时不参与计算；只需要解出一组最小的 \(\{x,y\}\) ，再通过二式计算是否存在 \(z\) 即可。
第二个突破口在于变形一式，有：
我们发现，如果对于一组解 \(\{x_0,y_0\}\) 满足二式，那么一定有一组解 \(\{x_0-d,y_0-w\}\) 也满足二式，而后者的和小于前者，即后者更优。
由此，我们发现，\(y\) 的取值是 \(0\le y < w\) ，暴力枚举 \(y\) 即得解。
一式的变形还有另外一种思路，如下：设 \(y \ge w\) ，那么记 \(y=\Delta + w\)
\[x*w+(\Delta+w)*d=p \]\[\rightarrow (x+d)*w+\Delta * d=p \]
不过，需要注意的是，由此计算出来的值不一定是满足“正整数”这一条件的，如下例：
10 2 5 3
别忘记加上特判（否则会WA62）。
数论解（扩展欧几里得）
本题还能使用数论解，但是会爆 long long ，需要搭配 int128 食用，简单学习了下，过程如下。
由扩欧可得 \(x*w+y*d=\gcd(w,d)\) 的其中一组可行解，记为 \(\{x_0,y_0\}\) ；而当 \(p \mod \gcd(w,d)=0\) 时，可行解变为 \(\bigg\{x_0*\dfrac{p}{\gcd(w,d)},y_0*\dfrac{p}{\gcd(w,d)} \bigg\}\) 。
那么，该如何求解最小的一组 \(\{x,y\}\) 呢，我们还是回到上一种解法的变形上，即：用 \(d\) 个 \(x\) 换 \(w\) 个 \(y\) 。更多思路与代码参考这里 。
AC代码
点击查看代码
bool Solve() {
int n, p, w, d; cin >> n >> p >> w >> d;
int y = 0;
for (int y = 0; y < w; ++ y) {
if ((p - y * d) % w) continue;
int x = (p - y * d) / w, z = n - x - y;
if (x >= 0 && z >= 0) {
cout << x << " " << y << " " << z;
return 0;
}
}
cout << -1;
return 0;
}
错误次数：2
忘写特判了……
文 / WIDA
2023.02.23 成文
首发于WIDA个人博客，仅供学习讨论
