统计学——复习笔记

算数平均数计算

\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

$\bar x = \frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}$

加权算术平均数

\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} * f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} f_{i}}

$\bar x = \frac{\sum^n_{i=1}x_i*f_i}{\sum^n_{i=1}f_i}$

其中， $x_i$ 表示各组平均水平值， $f_i$ 代表频数。

例题

解 ： \bar{x} = \frac{1070 + 11100 + . . . + 14 * 100}{70 + 100 + . . . + 100}

$解：\bar x=\frac{1070+11100+...+14*100}{70+100+...+100}$

调和平均数（倒数平均数）

{\bar{x}}_{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar x_h=\dfrac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{1}{x_i}}$

先取倒数再计算。

例题

已 知 (x, y, z) ， 则 A n s = \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}

$已知(x,y,z)，则Ans=\dfrac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$

加权调和平均数

{\bar{x}}_{h} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{n}{x_{i}}}

$\bar x_h=\dfrac{\sum^n_{i=1}n}{\sum^n_{i=1}\frac{n}{x_i}}$

例题1

例题2

几何平均数

{\bar{x}}_{g} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}}

$\bar x_g=\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}x_i}$

例题1

题目中说按照复利，故使用几何平均数。当按照单利计算时，答案如下：

例题2

在组距数列中确定中位数

假定数据均匀分布，直接推导可以得到答案，公式傻长，建议手推，不要背。

在组距数组中确定众数

M_{o} = L + \frac{Δ_{1}}{Δ_{1} + Δ_{2}} * i

$M_o=L+\dfrac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}*i$

在组距数组中确定四分位数

同中位数的计算.

极差（全距）

最大值-最小值 $R=Max-Min$

四分位差（內距）

四分之三分位数-四分之一位数

异众比率

假 设 众 数 为 M_{o} ， 则 异 众 比 率 V_{r} = \frac{\sum n - M_{o}}{\sum n}

$假设众数为M_o，则异众比率V_r=\dfrac{\sum n-M_o}{\sum n}$

例题

平均差

假 设 算 术 平 均 数 是 \bar{x} ， 则 平 均 差 A \cdot D = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |}{n}

$假设算术平均数是 \bar x，则平均差A·D=\dfrac{\sum^n_{i=1}|x_i-\bar x|}{n}$

例题

加权平均差

假 设 加 权 算 术 平 均 数 是 \bar{X} ， 则 加 权 平 均 差 A \cdot D = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{X} | * f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} f_{i}}

$假设加权算术平均数是 \bar X，则加权平均差A·D=\dfrac{\sum^n_{i=1}|x_i-\bar X|*f_i}{\sum_{i=1}^nf_i}$

例题

方差

σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n} = \bar{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}

$\sigma^2=\dfrac{\sum^n_{i=1}(x_i-\bar x)^2}{n}=\bar {x^2}-\bar x ^ 2$

即把平均差的绝对值换成了平方

例题

加权方差

σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{X})^{2} * f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} f_{i}}

$\sigma^2=\dfrac{\sum^n_{i=1}(x_i-\bar X)^2*f_i}{\sum_{i=1}^nf_i}$

样本方差

把方差的分母多减去一个 $1$ ，加权样本方差同。

标准差

方差开平方。

离散系数

V_{σ} = \frac{σ}{\bar{x}}

$V_\sigma = \dfrac {\sigma}{\bar x}$

标准差除以算术平均数

例题

这里只演算产品销售额：首先计算 $\bar x=536.25$ ，随后计算 $\sigma =\sqrt{\dfrac{\sum^n_{i=1}(x_i-\bar x)^2}{n-1}} \approx 309.1896$ ，随后计算 $V_\sigma=\dfrac {\sigma}{\bar x}\approx 0.577$ 。

是非标志

即将普通的 $(x_1,x_2,...,x_N)$ 变为 $(0,1)$ ，公式同上，稍微变换即可。

均值： $\bar x=\dfrac{1*f_1+0*f_2}{n}$
标准差：记 $P=\dfrac{f_1}{n},Q=\dfrac{f_2}{n}$ ，则可以简化为 $\sigma=\sqrt{P*Q}$
方差： $简记为\sigma^2=P*Q$

标准差系数

简 记 为 V = \sqrt{\frac{Q}{P}}

$简记为 V=\sqrt {\dfrac{Q}{P}}$

例题

样本平均数的抽样标准误差

重复抽样时： $\mu=\sqrt{\dfrac{\sigma^2}{n}}$ ，不重复抽样时： $\mu=\sqrt {\dfrac{\sigma^2}{n}(\dfrac{N-n}{N-1})}$ 。

样本成数的抽样标准误差

即在 $N$ 个样本中随机挑选 $n$ 个进行抽查——发现合格率是 $p$ ，则

重复抽样时： $\mu=\sqrt{\dfrac{p*(1-p)}{n}}$ ，不重复抽样时： $\mu=\sqrt {\dfrac{p*(1-p)}{n}(\dfrac{N-n}{N-1})}$ 。

抽样极限误差计算

在原来的抽样标准误差的基础上乘以 $t$ 得到误差 $\Delta$ 。

样本成数、样本平均数的极限误差： $\Delta=t*\mu$ 。

置信区间

由上面计算出的误差，可以得到置信区间的范围：

总体平均数的置信区间—— $\bar x -\Delta \le \bar X \le \bar x + \Delta$ 。
总体成数的置信区间—— $p -\Delta \le P \le p + \Delta$ 。

推测总数平均数需要的样本容量

重复抽样—— $n=\dfrac{t^2\sigma^2}{\Delta^2}=\dfrac{\sigma^2}{\mu^2}$ 。
不重复抽样—— $n=\dfrac{Nt^2\sigma^2}{N\Delta^2+t^2\sigma ^2}=\dfrac{N\sigma ^2}{N\mu ^2+\sigma ^2}$ 。

推测总数成数需要的样本容量

重复抽样—— $n=\dfrac{t^2p(1-p)}{\Delta^2}=\dfrac{p(1-p)}{\mu^2}$ 。
不重复抽样—— $n=\dfrac{Nt^2p(1-p)}{N\Delta^2+t^2p(1-p)}=\dfrac{Np(1-p)}{N\mu ^2+p(1-p)}$ 。

一元线性回归模型

{\begin{matrix} b = \frac{n \sum x y - \sum x \sum y}{n \sum x^{2} - (\sum x)^{2}} \\ a = \frac{\sum y}{n} - b \frac{\sum x}{n} = \bar{y} - b \bar{x} \end{matrix}

$\left\{\begin{matrix}b=\dfrac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x)^2}\\a=\dfrac{\sum y}{n}-b\dfrac{\sum x}{n}=\bar y-b\bar x\end{matrix}\right.$

r^{2} = \frac{\sum (\hat{y} - \bar{y})^{2}}{\sum (y - \bar{y})^{2}} = \frac{(n \sum x y - \sum x \sum y)^{2}}{(n \sum x^{2} - (\sum x)^{2}) (n \sum y^{2} - (\sum y)^{2})} = \frac{a \sum y + b \sum x y - n {\bar{y}}^{2}}{\sum y^{2} - n {\bar{y}}^{2}}

$r^2=\dfrac{\sum(\hat y-\bar y)^2}{\sum(y-\bar y)^2}=\dfrac{(n\sum xy-\sum x\sum y)^2}{(n\sum x^2-(\sum x)^2)(n\sum y^2-(\sum y)^2)}=\dfrac{a\sum y+b\sum xy-n \bar y^2}{\sum y^2-n\bar y ^2}$

综合总指数公式

$p$ 表示价格， $q$ 表示销售量；下标 $_0$ 表示基期，下标 $_1$ 表示报告期； $I$ 表示指数。

销 售 额 总 指 数 = \frac{\sum p_{1} q_{1}}{\sum p_{0} q_{0}}

$销售额总指数=\dfrac{\sum p_1q_1}{\sum p_0 q_0}$

销 售 量 （ 数 量 ） 总 指 数 ： I_{q} = \frac{\sum p_{0} q_{1}}{\sum p_{0} q_{0}} （ 拉 式 公 式 ）

$销售量（数量）总指数：I_q=\dfrac{\sum p_0q_1}{\sum p_0q_0}（拉式公式）$

价 格 （ 质 量 ） 总 指 数 ： I_{p} = \frac{\sum p_{1} q_{1}}{\sum p_{0} q_{1}} （ 派 式 公 式 ）

$价格（质量）总指数：I_p=\dfrac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1}（派式公式）$

加权算术平均指数公式

已知“销售量个体指数”与”基期销售额“：

I_{q} = \frac{\sum k_{q} p_{0} q_{0}}{\sum p_{0} q_{0}} ， 其 中 k_{q} = \frac{q_{1}}{q_{0}}

$I_q=\dfrac{\sum k_qp_0q_0}{\sum p_0q_0}，其中k_q=\dfrac{q_1}{q_0}$

加权调和平均指数公式

已知”个体价格指数“与”报告期销售额“：

I_{p} = \frac{\sum p_{1} q_{1}}{\sum \frac{1}{k_{p}} p_{1} q_{1}} ， 其 中 k_{p} = \frac{p_{1}}{p_{0}}

$I_p=\dfrac{\sum p_1q_1}{\sum \frac{1}{k_p}p_1q_1}，其中k_p=\dfrac{p_1}{p_0}$

上一篇Python网络爬虫与数据挖掘——复习笔记

下一篇Web技术——复习笔记

本文作者：hh2048

本文链接：https://www.cnblogs.com/WIDA/p/17127125.html

posted @ 2023-02-16 16:05 hh2048 阅读(195) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

無限進步