【W的AC企划 - 第二期】前缀和
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讲解
主要分为一维和二维前缀和，作为基础算法为此后众多高级算法提供基础知识。在 \(\mathcal O(N)\) 的预处理后，能够借助差分算法，以 \(\mathcal O(1)\) 的时间复杂度求部分和。
一维——求出数组的某一下标区间内符合要求的元素之和：
若 \(S_{[1,n]}=a_1+a_2+…+a_n\) ，则
\(S_{[L,R]}=S_{[1,R]}-S_{[1,L-1]}\)
二维——求出二维数组某一子矩阵内符合要求的元素之和（通常和DP结合）
若 \(S_{[1,1]->[N,N]}=a_{11}+a_{12}+…+a_{21}+a_{22}+…+a_{NN}\) ，则
\(S_{[l,r]->[L,R]}=S_{[1,1]->[L,R]}-S_{[1,1]->[l-1,r]}-S_{[1,1]->[l,r-1]}+S_{[1,1]->[l-1,r-1]}\)
题单与部分题解
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洛谷P1865 - A % B Problem（源地址自⇔洛谷P1865）
tag：⇔数论（素数筛）、⇔前缀和、⇔个人评级：入门级（橙题）【原：黄】
题意：对于给定的区间，输出这段区间内质数的个数（输出给定区间内质数的个数）。
思路：先一遍 \(O(n*\sqrt{n})\) 的遍历求解每一位是否是质数，然后再用前缀和数组累加，求出到这一位为止前面一共有多少质数。对于一次询问，以 \(O(1)\) 效率输出。
补充：刚开始以为数据量是 \(t*n\) ，想到朴素素数筛可能过不了（\(t*n*\sqrt{n}\)），所以就改用了埃氏筛，最终时间复杂度是 \(O(t+n*log_2n)\) ，用时85ms，看了一圈应该是用时最短的那个层级的了。A了之后才发现 \(t\) 不是乘到复杂度里的，而是加进去的，而且数据很水
（洛谷的数据一如既往的水啊）。 -
洛谷P1114 - “非常男女”计划（源地址自⇔洛谷P1114）
tag：⇔排序、⇔前缀和、⇔个人评级：入门级（橙题）【原：黄】
题意：找到给定 \(01\) 序列中最长的子串，子串中 \(0\) 的数量等于 \(1\) 的数量（输出包含 \(01\) 数量相等的最长子串）。
思路：若有两个位置，其前面 \(1,0\) 的数量差相同，则说明这两个位置之间 \(1,0\) 的数量差为0，即为所求。故——先一遍 \(O(n)\) 的遍历计算出前缀和数组，求出到这一位为止前面 \(1\) 的数量比 \(0\) 的数量多了多少个，并存入类桶结构，然后以常数时间查找、输出（注意，这个地方有卡常风险）。
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洛谷P3131 - [USACO16JAN]Subsequences Summing to Sevens S（源地址自⇔洛谷P3131）
tag：⇔数学规律、⇔前缀和、⇔个人评级：普及级（黄题）【原：橙】
题意：找到给定序列中最长的子串，子串中各元素之和恰好能被 \(7\) 整除（输出各元素之和恰好能被 \(7\) 整除的最长子串）。
思路：其实和上一题一样，但是不那么容易想到。若有两个位置，其前面所有元素之和 \(\%7\) 恰好相等 ，则说明这两个位置之间各元素之和 \(\%7\) 为0，即为所求。先一遍 \(O(n)\) 的遍历计算出前缀和数组，求出到这一位为止前面所有元素之和 \(\%7\) 的值，并存入类桶结构，然后以常数时间（ \(O(7)\) ）查找、输出即可。
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洛谷P2969 - [USACO09DEC]Music Notes S（源地址自⇔洛谷P2969）
tag：⇔二分法、⇔STL、⇔前缀和、⇔个人评级：入门级（橙题）
题意：（输出给定元素在哪个区间里）。
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洛谷P3662 - [USACO17FEB]Why Did the Cow Cross the Road II S（源地址自⇔洛谷P3662）
tag：⇔前缀和、⇔差分、⇔个人评级：普及级（黄题）
题意：共有 \(n\) 个信号灯，坏了 \(b\) 个，给出它们的编号。问：最少修好几个信号灯，使得连续有 \(k\) 个信号灯是好的。
思路：先处理路灯亮灭，亮为 \(0\) ，灭为 \(1\) 。再计算前缀和，求出到这一位为止前面一共有多少 \(1\) （多少灯是灭的）；再差分，求出从前面 \(k\) 位到这一位为止（连续 \(k\) 盏灯），一共有多少 \(1\) （多少灯是灭的），同时统计最小值。
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洛谷P3406 - 海底高铁（源地址自⇔洛谷P3406）
tag：⇔前缀和、⇔贪心、⇔个人评级：入门级（橙题）【原：黄】
题意：\(n\) 座城市按数序，各自有独立铁路相连，每段铁路的票均分为两种，且价格各不相同——一种是以高价 \(A_i\) 购买，另一种是先以 \(C_i\) 办卡（一段铁路只需办一次卡）、再以低价 \(B_i\) 购买。现告诉你访问城市的顺序，计算出最少的花费是多少。
思路：先使用前缀和算法，求出每一段铁路分别经过了几次，再根据售价计算最少的花费。全程开销为 \(O(n+m)\) 。
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洛谷P4440 - [COCI2017-2018#3] Programiranje（源地址自⇔洛谷P4440）
tag：⇔前缀和、⇔个人评级：入门级（橙题）【原：绿】
题意：给定序列 \(Str\) ，共有 \(k\) 次询问，每次取出
Str[l,r]和Str[L,R]两串子串，判定这后者是否可以通过重新排列得到前者。思路：转化题意，就是判断两个区间中，每个字母的数量是否相等。对每一个字母进行前缀和，求出到这一位为止前面一共有多少这个字母，然后差分并输出答案。
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CF1253C - Sweets Eating（源地址自⇔CF1253C）
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CF816B - Karen and Coffee（源地址自⇔CF816B）
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CF1547E - Air Conditioners（源地址自⇔CF1547E）
past202010_h - マス目のカット：二维前缀和
\(\mathcal O(N^3*10)\) ；这题范围较小，直接 \(\mathcal O(N^5)\) 的暴力也可以过（因为跑不满）。
