分鱼问题—总结

问题描述

A、B、C、D、E这5个人合伙夜间捕鱼，凌晨时都已经疲惫不堪，于是各自在河边的树丛中找地方睡着了。第二天日上三竿时，A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了；B第二个醒来，但不知道A已经拿走了一份鱼，于是他将剩下的鱼平分为5份，扔掉多余的一条，然后只拿走了自己的一份；接着C、D、E依次醒来，也都按同样的办法分鱼。问这5人至少合伙捕到多少条鱼？每个人醒来后所看到的鱼是多少条？

问题分析

假设5个人合伙捕了x条鱼，则“A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了”之后，还剩下4(x-1)/5条鱼。
这里实际包含了一个隐含条件：假设Xn为第n(n=1、2、3、4、5)个人分鱼前鱼的总数，则(Xn-1)/5必须为正整数，否则不合题意。（Xn-1)/5为正整数即(X〜l)mod5=0必须成立。
又根据题意，应该有下面等式：
X4=4(X5-1)/5
X3=4(X4-1)/5
X2-4(X3-1)/5
X1=4(X2-1)/5则一旦给定X5，就可以依次推算出X4、X3、X2和X1的值。要保证X5、X4、X3、X2和X1都满足条件(Xn-1)mod5=0，此时的X5则为5个人合伙捕到的鱼的总条数。题目中强调了 “至少”合伙捕到的鱼，此时题目的答案唯一。该问题可使用多种求解。我认为递归是最难懂的一个解法。

方法一和方法二为穷举法，方法三为递归法。

方法一

思路：从5开始，尝试每一个数字（这个数字是鱼最初的数量），分别计算出后四个人见到的鱼的数量记为  S_D、S_C、S_B、S_A，之后判断   S_D、S_C、S_B、S_A是否能被5 除后余1

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "string.h"

int main() {
int sum, S_A, S_B, S_C, S_D, S_E;
// S_i 这个人醒来看到的鱼
int i =5;
while (1) {
// printf("------");
// i 是E拿走的
S_E = 5*i + 1;
S_D = 5*S_E/4 + 1;
S_C = 5*S_D/4 + 1;
S_B = 5*S_C/4 + 1;
S_A = 5*S_B/4 + 1;
if(((S_E-1) % 5 == 0) &&((S_D-1) % 5 == 0) &&((S_C-1) % 5 == 0) &&((S_B-1) % 5 == 0) &&((S_A-1) % 5 == 0)) {
printf("S_A:%d\n", S_A);
break;
}
i++;
// printf("E看到的总数%d\n", 5*i + 1);
// printf("E带走的是%d\n", i);
// return 5*i + 1; //. 返回E看到的总数，即D留下的
}
printf("OK\n");
printf("分别见到鱼的条数：\n第一个人：%d \n第二个人：%d \n第三个人：%d \n第四个人：%d\n第五个人：%d \n",
S_A, S_B, S_C, S_D, S_E);
}

 

方法二

从5开始，尝试每一个数字（这个数字是最后一个人见到鱼的数量），分别计算出前四个人见到的鱼的数量记为 j、k、l、m，之后判断 j-1、k-1、l-1、m-1是否能被5 除后余1

// 就不代码实现了，大致如下，其他同上
S_A=5*S_B/4+1;

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方法三：递归完成

在main()函数中构建一个不定次数的do-while循环。定义变量x表示5个人合伙可能捕到的鱼的条数，可以取x的最小值为6，让x值逐渐增加，x每一次取值，都增加5，直到找到一个符合问题要求的答案。由于题目中问“这5人至少合伙捕到多少条鱼”，而我找到的第一个x值就是5个人至少捕到的鱼的总条数。

通过这个循环，就可以对每一个的可能情况进行检查。当然，是通过调用分鱼的递归函数来进行检查的。

分鱼的递归函数如下：
fish()函数中包含了两个参数：n和x。n表示参与分鱼的人数，x表示n个人分鱼前鱼的总条数。这两个参数都是由main()函数中传递进来的。

根据前面的分析，当n=5时，(x-1)mod5==0必须成立，否则该x值不是满足题意的值，退出fish()函数，返回到main()函数，main()函数中再传递新的x值到fish中进行检验。如果(x-1)mod5==0条件成立，则要判断n=4时，(x-1)mod5=0条件是否成立，需要注意的是，此时的形参x是4个人分鱼前鱼的总条数，即f(5,x)递归调用f(4,(x-1)/5*4)。这样依次进行下去，直到n=1时，(x-1)mod5==0条件仍成立，则说明开始从main()函数中传递进来的x值是符合题意要求的一个值，可以逐层从递归函数中返回，每次返回值都为1，直至返回到main()函数。

#include<stdio.h>
/*分鱼递归函数*/
int fish(int n, int x)
{
    if((x-1)%5 == 0)
    {
        if(n == 1)
            return 1;  /*递归出口*/
        else
            return fish(n-1, (x-1)/5*4);  /*递归调用*/
    }
    return 0;  /*x不是符合题意的解，返回0*/
}
int main()
{
    int i=0, flag=0, x;
    do
    {
        i=i+1;
        x=i*5+1;  /*x最小值为6，以后每次增加5*/
        if(fish(5, x))  /*将x传入分鱼递归函数进行检验*/
        {
            flag=1;  /*找到第一个符合题意的x则置标志位为1*/
            printf("五个人合伙捕到的鱼总数为%d\n", x);
        }
    }
    while(!flag);  /*未找到符合题意的x，继续循环，否则退出循环*/
    return 0;
}

 

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看到一位大佬写的python代码,标注很详细 ：

# 初次见面，随便假设一个鱼的总数，不要设置太高，以免错过答案
fish = 10

# 这里使用while循环，如果不满足 在依据新假设的鱼总数，再进循环（咱肯定不能总是自己设置一个鱼的数量）
while True:
    # 每次进入while循环，我们需要先暂存一下fish的值，方便在循环里面使用，避免覆盖fish的值
    tmp_fish = fish
    # 每次进入while循环，我们都假设这个数是可以满足条件的
    enough = True
    
    # 开始每次的for循环(每次for循环的任务就是拿我们假设的值 给5个人分以下，看能不能满足要求
    # 如果不满足要求，就把enough设置为False，然后跳出for循环
    # 如果满足要求，enough的值会继续保持为True，for循环走完后，就会跳出while循环，打印结果（也可以直接在while里面打印结果）
    for _ in range(5):
        # 根据要求，鱼必须丢掉一个 并整除5 才能满足要求
        if (tmp_fish - 1) % 5 == 0:
            # 当满足要求时，我们需要计算出下一个人开始分鱼时，鱼的总舒缓亮
            tmp_fish = ( (tmp_fish - 1) / 5 ) * 4
        else:
            # 如果5次循环，有一次进入这个 ，就表示不满足要求
            enough = False
            break
    
    if enough:
        # 表示假设的值满足要求，所以我们跳出while循环，去打印结果
        break
    else:    
        # 表示假设的值不满足要求，所以我们把假设的值加1，再次循环
        fish += 1

print("鱼的条数：" + str(fish))

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