康托展开与逆康托展开原理
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1. 康托展开
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康托展开的公式是 X=an * (n-1)! + an-1 * (n-2)! + ... + ai * (i-1)! + ... + a2 * 1! + a1 * 0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以： X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0!
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关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
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a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
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a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
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a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
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a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
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所以，X(s1) = 3 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
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CODE：
int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; // 阶乘 int Cantor(int s[],int n){ // 康托展开 int num=0; for(int i=0;i<n;i++){ int temp=0; // 记录数字是第几大 for(int j=i+1;j<n;j++) if(s[i]>s[j]) temp++; num += temp*fac[n-1-i]; } return num+1; }
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2. 通过康托逆展开生成全排列
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例 1.如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
- 因为已知 X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
2 * 3! + 4 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
1 * 3! + 7 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
0 * 3! + 10 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
0 * 3! + 0 * 2! + 20 * 1! + 0 * 0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：
- 因为已知 X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。- 例 2.{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，找出第96个数 -
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
用23去除3! 得到3余5
用5去除2!得到2余1
用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）
有2个数比它小的数是3
有1个数比它小的数是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321
- **CODE：**
/*-----------------------------------------------------------------------------------*\
*名称 ：逆康托展开
*作用 ：已知最初排列，按字典序排序后找到第x个序列
\*-----------------------------------------------------------------------------------*/
#define ll long long
#define cls(x) memset(x,0,sizeof(x))
const int MAX_N = 11; // 排列长度
const int MAX_C = 9; // 需要的最大阶乘N!
ll fac[MAX_C];
// 初始化阶乘系数
void init_fac(){
fac[1] = fac[0] = 1;
for(int i = 2 ; i < MAX_C ; i ++) fac[i] = fac[i-1]*i;
}
// 寻找由1~n组成全排列按字典序排序后第x个排列
void uCT(int n,int x){
bool vis[MAX_N]; cls(vis);
int ans[MAX_N]; cls(ans);
x--;
int i , j;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
int t = x/fac[n-i-1]; // 每次都寻找第t大的数
for(j = 0 ; j < n ; j++){
if(!vis[j]){
if( t == 0 ) break;
t -- ;
}
}
ans[i] = j;
vis[j] = 1;
x %= fac[n-i-1];
}
for(i = 0 ; i < n ; i++) printf("%d ",ans[i] + 1);
puts("");
}
