[DS] 树的一些基本概念

树

术语

• Root 没有父节点的节点。
• Siblings 有相同父节点的节点。
• Internal node 至少有一个子节点的节点。
• External node 没有子节点的节点。
• Ancestors of a node 父节点，父节点的父节点...
• Descendant of a node 子节点，子节点的子节点...
• Depth of a node 祖先节点的个数。
• Height of a tree 所有节点中的最大深度。
• Degree of a node 子节点的个数。
• Degree of a tree 树中所有节点度的最大值。
• Subtree 一个节点和其所有子孙节点组成的树。

二叉树

定义：一个树，每个内部节点，最多只有两个子节点，每个节点的子节点是有序的，一般称为left child和right child。
递归的定义：一个树有一个单个根节点，或者一个树其根节点有两个有序的子节点，每个节点又是一个二叉树的根节点。

二叉树最大的节点数

• 某个深度的最大节点数：\(2^i\)，\(i\)是深度，这个好理解，因为每层的最大节点数是\(2,4,8,16...\)这样增长的。
• 二叉树的最大节点数: \(2^{k+1}-1\)，把每层相加就好\(\sum_{i=0}^k{2^i}=2^{k+1}-1\)。

叶子节点和度2节点的关系

对于非空二叉树T，\(n_0\)为叶子节点数，而\(n_2\)是度2节点数，则有\(n_0=n_2+1\)

设\(n,B\)分别为二叉树的节点总数和二叉树的分叉数，\(n_0, n_1, n_2\)分别为度0,1,2节点的个数，则有\(B+1=n\)，\(B=n_1+n_2\)，联立消去\(B\)，则有\(n_1+2n_2+1=n\)，又有\(n_0+n_1+n2=n\)，则得出\(n_0=n_2+1\)。

满二叉树

给定高度\(k\)，一共有\(2^{k+1}-1\)个节点的二叉树，是满二叉树。

用数字来标记二叉树，从上到小，从左到右，数字依次递增。

• 对于节点\(i\)来说，他的父节点为\(i/2\)，除了\(i=1\)。
• 对于节点\(i\)来说，它的左子节点为\(2i\)，除了\(2i>n\)，此时其没有左子节点。又子节点为\(2i+1\)同理。

完全二叉树

相对于满二叉树来说，完全二叉树最后一层不是满的，也就是说，最后一层的节点个数不是\(2^i\)但要大于1。

二叉树的存储

两种方式，一种是链式结构，一种是连续的数组方式。

• 链式结构，每个节点是数据单元 + 两个指向子节点的指针，对于链式的结构，会有n+1个 NULL的指针
• 连续数组结构，用数组的索引来区分节点，例如A[1]是根，A[2]，A[3]是A[1]的子节点

二叉树的遍历

• 先序遍历：先遍历当前节点，再遍历左子树，再遍历右子树。
• 中序遍历：先遍历左子树，再遍历当前节点，再遍历右子树。
• 后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，再遍历当前节点。