简介
基本是翻译和补充 http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
计算机显示器是一个2D的平面，一个3D的场景要被OpenGL渲染必须被投影到2D平面上以生成2D的图像。在OpenGL中，GL_PROJECTION矩阵可以用来进行投影变换。首先，它将所有的顶点数据从相机坐标系(eye coordinates)转换到裁剪坐标系(clip coordinates)，然后通过除以裁剪空间坐标的w值，将裁剪空间坐标系转换到归一化设备坐标系(normalized device coordinates，NDC)
我们需要注意的一点就是，裁剪和NDC变换都通过GL_PROJECTION矩阵来完成。之后的文章，将会利用6个参数来构建投影矩阵，这六个参数是：left，right，bottom，top，near，far，分别为近裁剪面的左右下上边界，近裁剪面，远裁剪面。
视锥体剔除是在裁剪坐标下进行的，在转换到NDC坐标系之前。已经变换到裁剪坐标系的坐标xc,yc,zc会和wc进行比较，如果裁剪坐标大于wc或小于−wc，则顶点会被剔除，OpenGL会重建多边形的边。
ps.解释一下为什么要和wc进行比较。因为NDC坐标的范围是[−1,1]，而裁剪坐标和NDC坐标之间的关系是xc/wc=xn，所以xc必须得在[−wc,wc]之间才可见，其他两个轴同理。不是在NDC坐标阶段进行裁剪，是因为不可见的顶点，没有必要在对其进行运算，会消耗资源。在作用完投影矩阵后，得到的是齐次坐标，OpenGL会自动除以wc，以得到笛卡尔坐标，OpenGL应该是在除以wc之前进行视锥体剔除工作。
透视投影
在透视投影中，1个3D的点在一个像被切了一刀的金字塔的视锥体中，此时的坐标系是相机坐标系，这个坐标系会被映射正方体的NDC坐标系中。
- x:[l,r]−>[−1,1]
- y:[b,t]−>[−1,1]
- z:[−n,−f]−>[−1,1]
相机坐标系定义在右手坐标系，NDC是左手坐标系，所以相机朝着-Z的方向看去，而NDC朝着+Z的方向看去。因为glFrustum()裁剪面的参数必须为正数，所以在创建投影矩阵的时候，我们要对其进行去取反。
ps.glFrustum是opengl类库中的函数，它是将当前矩阵与一个透视矩阵相乘，把当前矩阵转变成透视矩阵，在使用它之前，通常会先调用glMatrixMode(GL_PROJECTION).
void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)，left,right指明相对于垂直平面的左右坐标位置，bottom,top指明相对于水平剪切面的下上位置，nearVal,farVal指明相对于深度剪切面的远近的距离，两个必须为正数。
在OpenGL中，1个3D的点将会被投影到近裁剪平面上，下图展示了点(xe,ye,ze)如何投影到(xp,yp,zp)。
在视锥体的顶视图，我们可以利用相似三角形计算xp的值
xpxe=−nzexp=−nxeze=nxe−ze
同理，在侧视图中，利用相似三角形计算yp的值
ypye=−nzeyp=−nyeze=nye−ze
我们观察到xp,yp都依赖于ze，他们都除以ze，这是第一个线索，来帮助我们构建透视投影矩阵。当相机坐标系经过透视投影矩阵变换后，得到的是裁剪坐标系的齐次坐标，最后通过除以齐次坐标的wc，来得到NDC
⎡⎢
⎢
⎢⎣xcyczcwc⎤⎥
⎥
⎥⎦=Mprojection⎡⎢
⎢
⎢⎣xeyezewe⎤⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢⎣xnynzn⎤⎥⎦=⎡⎢⎣xc/wcyc/wczc/wc⎤⎥⎦
因此我们可以设置wc的值为−ze，现在投影矩阵看起来是
⎡⎢
⎢
⎢⎣xcyczcwc⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢⎣............00−10⎤⎥
⎥
⎥⎦⎡⎢
⎢
⎢⎣xeyezewe⎤⎥
⎥
⎥⎦
接着，我们需要将xp,yp映射到xn,yn，[l,r]−>[−1,1],[b,t]−>[−1,1]。
相当于是给定l，我要得到-1，给定r，我要得到1，这不就是给定二维平面上的两个点，求其直线方程的问题。
令xn=kxp+β，求其斜率为1−(−1)r−l=2r−l带入点(r,1),1=2rr−l+β化简求得β=−r+lr−l最终得xn=2xpr−l−r+lr−l
令yn=kyp+β，求其斜率为1−(−1)t−b=2t−b带入点(t,1),1=2tt−b+β化简求得β=−t+bt−b最终得yn=2ypt−b−t+bt−b
现在有了从xe,ye到xp,yp和从xp,yp到xn,yn，现在联立一下就可以得到从xe,ye到xn,yn的关系表达式。
xn=2xpr−l−r+lr−lxp=−nxeze=nxe−ze最终可以化简为(2nr−lxe+r+lr−lzexc)/−ze
同理
yn=2ypt−b−t+bt−byp=−nyeze=nye−ze最终可以化简为(2nt−bye+t+bt−bzeyc)/−ze
现在我们的透视矩阵现在是这个样子
⎡⎢
⎢
⎢⎣xcyczcwc⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b0....00−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎡⎢
⎢
⎢⎣xeyezewe⎤⎥
⎥
⎥⎦
现在还剩下矩阵的第三行。zn和其他两个轴的坐标稍有不同，因为ze总是投影到-n的近裁剪面，但是我们需要不同的z值来进行裁剪和深度测试，另外我们应该可以进行逆操作（逆变换）。因为我们知道z的值不依赖于x，y，我们借用w的值来寻找zn,ze之间的关系，因此我们指定第三行矩阵为
⎡⎢
⎢
⎢⎣xcyczcwc⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000AB00−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎡⎢
⎢
⎢⎣xeyezewe⎤⎥
⎥
⎥⎦
zn=zc/wc=Aze+Bwe−ze
在相机坐标系中，we的值是1，因此有zn=Aze+B−ze，为了获得A和B的值，我们使用(ze,zn)的关系，(−n,−1),(−f,1)，然后将他们代入表达式。
−An+Bn=−1−Af+Bf=1
联立，这是一个简单二元一次方程组，容易求得
A=−f+nf−nB=−2fnf−n
所以最终得到
zn=−f+nf−nze−−2fnf−n−ze
最终整个投影矩阵的表达式为
⎡⎢
⎢
⎢⎣xcyczcwc⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000−f+nf−n−2fnf−n00−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎡⎢
⎢
⎢⎣xeyezewe⎤⎥
⎥
⎥⎦
这个投影矩阵是一般的视锥体，如果是对称的话，有r=−l,t=−b，那么有
r+l=0,r−l=2r(width)t+b=0,t−b=2t(height)
最后矩阵可以简单的化为
⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣nr0000nt0000−f+nf−n−2fnf−n00−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
注意观察ze,zn的关系式，这是一个非线性的反比例函数，这意味着，在近裁剪平面的是很好，精度很高，而在远裁剪面的时候，精度很低。当[−n,−f]很大时，可能导致深度精度问题（z-fighting），一个较小的ze的变化，在远裁剪面可能不会影响zn的值，n和f之间的距离应该短一些，从而最小化这个问题。
ps.因为浮点数会存在精度问题，毕竟计算机的存储是离散的。
正交投影
正交投影的要比透视投影简单许多，xe,ye,ze相机坐标系将会线性映射到NDC坐标系。我们仅需要将长方体变为正方体，然后移动至原点。
xn=1−(−1)r−lxe+β代入(r,1)，最终可得xn=2r−lxe−r+lr−l
同理
yn=1−(−1)t−bye+β代入(t,1)，最终可得yn=2t−bye−t+bt−b
同理
zn=1−(−1)−f−(−n)ze+β代入(−f,1)，最终可得zn=−2f−nze−f+nf−n
因为w的值在正交投影中不必要，所以我们设置为1，因此正交投影矩阵为
⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b00−2f−n−f+nf−n0001⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
同透视投影一样，如果是对称的话，那么就可以矩阵就可以变简单
⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1r00001t0000−2f−n−f+nf−n0001⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
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