BZOJ2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)（莫队算法）

神奇的莫队算法，用来解决可离线无修改的区间查询问题：

• 首先对原序列进行分块，√n块每块√n个；
• 然后对所有查询的区间[l,r]进行排序，首先按l所在的块序号升序排序，如果一样就按r升序排序；
• 最后就按顺序一个一个求出各个查询的结果：知道[l,r]的答案，并且在此基础上能在比较快地在O(x)得到相邻区间[l+1,r]、[l-1,r]、[l,r-1]、[l,r+1]的答案，那样就能从[l,r]的基础上对lr加加减减得到任意一个区间[l',r']的答案。

看似暴力，但这样做的时间复杂度是O(x*n*√n) ！因为：

• l是按其所在块序号排列，同一块里面一次最多√n次++l或--l到达目标；一块最多大概√n次加加减减；总共√n块；所以l改变的次数顶多也就√n*√n*√n。
• r在同一块是升序的，所以同一块最多n次++r；下一块时r假设在上一块到达最远，那最多n次--r回到目标；总共√n块；所以r改变次数顶多也就(n+n)*√n。
• 而每次加加减减转移新答案的代价是x，所以时间复杂度是O(x*n*√n) ！

 

这一题，设每个区间[l,r]各个颜色的袜子数分别为$a,b,c,d,\dots$，每个区间[l,r]的答案就是$(C_a^2+C_b^2+C_c^2+C_d^2+\cdots)/C_{r-l+1}^2$，展开化简得：

$$(a^2+b^2+c^2+d^2+\cdots-a-b-c-d-\cdots)/((r-l+1)*(r-l+1-1))$$

$$(a^2+b^2+c^2+d^2+\cdots-(r-l+1))/((r-l+1)*(r-l))$$

其中$(a^2+b^2+c^2+d^2+\cdots)$便可作为莫队算法处理的区间答案，开个数组记录abcd...的个数可以在O(1)转移到相邻区间。

另外特判区间l=r的情况。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 55555

int block;
struct Query{
    int i,l,r;
    bool operator<(const Query &q)const{
        if(l/block==q.l/block) return r<q.r;
        return l/block<q.l/block;
    }
}query[MAXN];

long long gcd(long long a,long long b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int seq[MAXN];
long long cnt[MAXN],ansx[MAXN],ansy[MAXN];
void insert(long long &res,int a){
    res-=cnt[a]*cnt[a];
    ++cnt[a];
    res+=cnt[a]*cnt[a];
}
void remove(long long &res,int a){
    res-=cnt[a]*cnt[a];
    --cnt[a];
    res+=cnt[a]*cnt[a];
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    block=sqrt(n);
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",seq+i);
    for(int i=0; i<m; ++i){
        query[i].i=i;
        scanf("%d%d",&query[i].l,&query[i].r);
    }
    sort(query,query+m);
    int l=1,r=1;
    ++cnt[seq[1]];
    long long res=1;
    for(int i=0; i<m; ++i){
        if(query[i].l==query[i].r){
            ansx[query[i].i]=0; ansy[query[i].i]=1;
            continue;
        }
        while(l<query[i].l){
            remove(res,seq[l]);
            ++l;
        }
        while(l>query[i].l){
            --l;
            insert(res,seq[l]);
        }
        while(r<query[i].r){
            ++r;
            insert(res,seq[r]);
        }
        while(r>query[i].r){
            remove(res,seq[r]);
            --r;
        }
        long long a=res-(query[i].r-query[i].l+1),b=(query[i].r-query[i].l+1LL)*(query[i].r-query[i].l),c=gcd(b,a);
        ansx[query[i].i]=a/c; ansy[query[i].i]=b/c;
    }
    for(int i=0; i<m; ++i) printf("%lld/%lld\n",ansx[i],ansy[i]);
    return 0;
}