HDU3037 Saving Beans（Lucas定理+乘法逆元）

题目大概问小于等于m个的物品放到n个地方有几种方法。

即解这个n元一次方程的非负整数解的个数$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=y$，其中0<=y<=m。

这个方程的非负整数解个数是个经典问题，可以+1转化正整数解的个数用插板法解决：$C_{y+n-1}^{n-1}=C_{y+n-1}^y$。

而0<=y<=m，最后的结果就是——

$$\sum_{i=0}^m C_{i+n-1}^i$$

$$C_{n-1}^0+C_{n}^1+C_{n+1}^2+\dots+C_{n-1+m}^m$$

$$C_{n}^0+C_{n}^1+C_{n+1}^2+\dots+C_{n-1+m}^m$$

$$C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\dots+C_{n-1+m}^m\ \tag{$C_{n+1}^1=C_{n}^0+C_{n}^1$}$$

$$C_{n+2}^2+\dots+C_{n-1+m}^m\ \tag{$C_{n+2}^2=C_{n+1}^1+C_{n+1}^2$}$$

$$\vdots$$

$$C_{n+m}^m$$

于是就推算出结果是$C_{n+m}^m$。那么就是计算$C_{n+m}^m\ mod \ p$，其中1<=n,m<=1000000000，1<p<100000且p为质数。

这时就是用Lucas定理来计算这种大组合数的模：$Lucas(n,m)\equiv C_{n\%p}^{m\%p}\times Lucas(n/p,m/p)\pmod p$。

另外计算组合数时，利用模p下的乘法逆元，$C_n^m\equiv\frac {n!}{(n-m)!m!}\equiv n!\times((n-m)!m!)^{-1} \pmod p$

而计算逆元没必要用扩展欧几里得算法，因为p是质数，利用费马小定理可以推出n在模p下的乘法逆元为$n^{p-2}\ mod\ p$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long ine(long long n,long long p){
    long long res=1,m=p-2;
    while(m){
        if(m&1) res=res*n%p;
        n=n*n%p;
        m>>=1;
    }
    return res;
}
long long fact[100000]={1};
long long lucas(long long n,long long m,long long p){  
    long long res=1;  
    while(n&&m){  
        long long a=n%p,b=m%p;  
        if(a<b) return 0;  
        res=res*fact[a]*ine(fact[b]*fact[a-b]%p,p)%p;  
        n/=p; m/=p;
    }
    return res;
}
int main(){
    long long n,m,p;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        for(int i=1; i<p; ++i) fact[i]=fact[i-1]*i%p;
        printf("%lld\n",lucas(n+m,m,p));
    }
    return 0;
}