最大最小公倍数
已知一个正整数N,问从1~N中任选出三个数,他们的最小公倍数最大可以为多少。
输入一个正整数N。
1 <= N <= 106。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
long long n, l;
while(scanf("%d", &n)!=EOF){
if(n%2!=0)//n为奇数
{
l = n*(n-1)*(n-2);
}
else if(n%3!=0)//n不可以被3整除
{
l = n*(n-1)*(n-3);
}
else{
l = (n-1)*(n-2)*(n-3);
}
printf("%lld\n", l);
}
return 0;
}
思路
一看给的数据范围那么大,时间还1s,暴力是绝对超时的,这时候就要想,肯定是有数学规律在的。要清楚下面两个定理:
定理1:大于1的两个相邻的自然数必定互质
定理2:两个数的最小公倍数在最大的情况就是当两个数互质的时候,他们的最小公倍数就是这两个数的乘积
这时候就好了,我们需要找三个互质的数,让他们三个乘积最大就OK啦,肯定是从n往下乘了,但这时候三个连续的数,有两种情况使其互质
1. 偶 X 奇 X 偶
2. 奇 X 偶 X 奇
这时候就考虑n的奇偶性了:
1. n为奇数
此时,n*(n-1)*(n-2)中,n,n-2为奇数,n-1为偶数,即肯定不存在公因数2,因为这三个连续的数变化范围不超过3,所以就算有一个数是3的倍数,也不会存在第二个数是3的倍数,即这三个数字都是互质的。
2. n为偶数
此时,n*(n-1)*(n-2)中,有两个偶数,即存在公因数2,也就是说最小公倍数要除2了,就不是最大了的。所以不能存在 偶 X 奇 X 偶
这种情况,就让(n-2)变为(n-3),大的数尽量不变嘛,这时候呢,又恢复到了 奇 X 偶 X 奇
的情况。
此时要考虑了,n和n-3之间,差了3,即如果n是3的倍数,n-3也一定是3的倍数,所以当n不是3的倍数的时候,n*(n-1)*(n-3)是ok的
当n是3的倍数的时候,(n-1)(n-2)(n-3),又恢复了 奇 X 偶 X 奇
的情况了,OK!