Tarjan学习笔记

从头开始学习OI之Tarjan. 今天重新学习了Tarjan算法..来这里写一下学习笔记...

用处

Tarjan算法,是一个关于图的联通性的神奇算法.基于DFS(深度优先搜索).是对于有向图的算法是.根据树,栈,打标记等方法来完成剖析一个图的工作.

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我们先来学习一下Tarjan算法需要知道的定义:
强连通，强连通图，强连通分量

强连通(Strongly Connected)：

在一个有向图 G 里,有两个点 a,b ,由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a,我们就叫这两个顶点 (a,b) 强连通.

强连通图(Strongly Connected Graph)：

如果在一个有向图 G 中,每两个点都强连通,我们就叫这个图 强连通图。

强连通分量(Strongly Connected Components)：

在一个有向图 G 中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 **强连通分量 ** (如图中的 1,2,3 组成的分量就叫强连通分量)

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Tarjan算法:

Tarjan所做的事情很简单...就是找到每一个强连通分量(单独一个点也算是强连通分量..) 在实现算法之前...我们先定义几个数组:
dfn[i] 表示第 i 个节点的时间戳..也就是在DFS这张图的时候这个点被遍历到的时刻..
low[i] 表示第 i 个节点所在的强连通分量的根节点(按理说强连通分量无所谓根节点..这里的根节点是指在那一棵DFS树中这个强连通分量的根节点)

很明显如果 dfn[i] == low[i] 那么就代表这一个点是一个强连通分量的根
先看一下算法流程

void Tarjan(int u) {
	dfn[u] = low[u] = ++Index; //将dfn和low都初始化为时间戳,也就是dfs到的时刻
	Stack[++top] = u; //将该点压入dfs栈中
	vis[u] = 1; //标记点在栈中
	for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next) { //DFS过程
		if(!dfn[edge[i].to]) { //如果该点没有被搜索到过
			Tarjan(edge[i].to); //对于该点进行算法(即dfs的过程)
			low[u] = min(low[u],low[edge[i].to]); //搜索完成返回时更新一下这个强连通分量里的所有点的在dfs树中的根节点
		} else if(vis[edge[i].to]) { //如果该点已经在搜索栈中,那么代表当前栈中在这个点后的点在一个强连通分量里,那么这个搜索到的点就是这个强连通分量的根节点..
			low[u] = min(low[u],dfn[edge[i].to]); //将当前点所在强连通分量的根节点修改为搜索到的这个节点,也就是根节点..
		}
	}
	if(dfn[u] == low[u]) { //按照上面的定义我们知道这是判断是否是一个强连通分量的根节点
		while(Stack[top] != u) { //按照上面所说的将该点在栈后的所有节点都弹出(在一个强连通分量里..也就是我们要求的了..可以染色存储起来备用或者缩成一个点(缩点算法))
			printf("%d ",Stack[top]);
			vis[Stack[top--]] = 0;
		}
		printf("%d\n",Stack[top]); //弹出当前的这个根
		vis[Stack[top--]] = 0;
	}
}

首先来一张有向图 \(G\).我们一点一点来模拟整个算法.

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首先是一点一点的入栈..也就是上面DFS遍历的时候的顺序..叫做DFS序或者入栈序..即:

Step1: 1号点入栈 dfn[1] = low[1] = ++index (1) 此时栈为: 1 Step2: 2号点入栈 dfn[2] = low[2] = ++index (2) 此时栈为: 1 2 Step3: 3号点入栈 dfn[3] = low[3] = ++index (3) 此时栈为: 1 2 3 Step4: 6号点入栈 dfn[6] = low[6] = ++index (4) 此时栈为: 1 2 3 6 

左边这张树的图就是当前操作完成后的DFS树...
走到这里之后我们看到右边图中六号节点没有了出边...也就是上面说的第一步或者说是第一个判断结束了...
我们就要开始返回了,明显 low[6] == dfn[6] 所以6就是一个强连通分量的根节点;
栈要一直弹出直到弹出6号节点 此时栈为: 1 2 3
然后返回到三号..三号再无出边..
也一直弹出直到将其弹出 存为一个强连通分量的根 此时栈为: 1 2

发现2号节点还有可以继续遍历下去的边..于是将五号节点压入栈中即:
dfn[5] = dfn[5] = ++index(5) 此时栈为: 1 2 5
再遍历发现一个6号..已经遍历过就不在管他了..
再遍历发现一个1号节点..1号在栈中..于是进入第二个if语句,修改
low[5] = min(low5,low1) 所以 low[5] 也就是五号节点所在的强连通分量的根就是1
五号没有出边了..返回上一层..修改 low[2] = min(low2,low5),low[2] = 1
二号没有出边了..返回上一层..修改 low[1] = min(low1,low2),low[1] = 1 low[1]依然等于1
一号还有出边..遍历到四号 dfn[4] = low[4] = ++index(6) 此时栈为 1 2 5 4
四号遍历到五号..五号在栈中所以更新一下 low[4] = min(low4,low5),low[4] = 1;
再返回 low[1] = min(low1,low4) ,low[1] = 1;
然后1号也没有出边了..这时栈一直弹出直到将1号弹出 栈空

最后的DFS树是这样的

按照我们找到的根节点拆成一个个的强连通分量

这样就完成了

我们把以一号为开始的连通图都遍历一遍了...为了防止图有多个(不连通) 我们要在调用Tarjan的时候这样写

for(int i = 1; i <= n; ++i) 
  if(!dfn[i]) Tarjan(i); //如果没有时间戳,那就代表没有遍历到,从此点开始Tarjan

这样就可以把所有的图都给遍历一遍了...

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来一道裸题。 输入： 一个图有向图。 输出： 它每个强连通分量。

这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。

Input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
Output:
6
5
3 4 2 1


代码:

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct node {
	int to,next;
} edge[1001];

int cnt,Index,top;
int dfn[1001],low[1001];
int stack[1001],head[1001],visit[1001];

void add(int x,int y) {
	edge[++cnt].next = head[x];
	edge[cnt].to = y;
	head[x] = cnt;
}
void tarjan(int x) { //代表第几个点在处理。递归的是点。
	dfn[x] = low[x] = ++Index; // 新进点的初始化。
	stack[++top] = x; //进栈 
	visit[x] = 1; //表示在栈里
	for(int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
		if(!dfn[edge[i].to]) { //如果没访问过
			tarjan(edge[i].to); //往下进行延伸，开始递归
			low[x] = min(low[x],low[edge[i].to]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。
		} else if(visit[edge[i].to]) { //如果访问过，并且还在栈里。
			low[x] = min(low[x],dfn[edge[i].to]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系
		}
	}
	if(low[x] == dfn[x]) { //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
		do {
			printf("%d ",stack[top]);
			visit[stack[top]] = 0;
			top--;
		} while(x != stack[top+1]);//出栈，并且输出。
		printf("\n");
	}
	return ;
}
int main() {
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int x,y;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(!dfn[i]) tarjan(i);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完
	return 0;
}