【做题纪要】10月“我想要太多太多装满房子,欢乐自由每刻每时” -- 《我想要太多太多》

[AGC006D] Median Pyramid Hard

看了一圈感觉就这题比较可做，那就先写这个，但是还是没啥头绪。

首先看咋写，这题的暴力肯定是直接从第 $n$ 层开始反推就行的，但是复杂度好像很劣的样子，这肯定不行

考虑二分答案，我们二分塔顶的值，如果比这个点大我们就设为 $1$，如果比这个点小我们就设为 $0$

我们发现如果有两个相同的值挨在一起，那么它就会一直一直往上走

如果完全没任何相邻的那就一直是 $0$，这个明显比较神秘

复杂度 $O(n \log n)$ 完全能过

代码写的挺神秘的

注意到我写完的代码有唐诗错误，for_(i,1,n) a[i]=read(); 处应该写 for_(i,1,2*n-1)

「JOI 2017 Final」焚风现象

这题似乎很优的样子，话说 JOI 是日本的 NOI 吗

考虑每次修改实际上对于区间内部和区间的非相邻格子没有影响，只对其相邻的两个格子有影响

因此我们可以先对于最开始的区间进行暴力计算，然后对于修改使用线段树维护

但是请看这条

没错，这题不需要线段树，直接暴力维护两点即可

那就解决了，我服了白打了个线段树

「JOI 2014」水筒

这题咋连个输入格式和输出格式都没有，急了，这我咋写啊，LOJ救我，不过咋又是JOI，JOI这么能出题吗

发现这是一个图论的题，看起来挺优秀的

考虑对于这样的一个图去打邻接矩阵，然后跑 MST，这是很明显的，对于每一条边的长度直接多源 bfs 去求即可，然后跑克鲁斯卡尔或者perm来重构这个图，去建立一棵树就行

最后跑一个树剖或者 lca 就行，由于机房里有 lca 所以考虑使用 lca 来求两点之间距离

然后就过了

P5044 [IOI2018] meetings 会议

我打 IOI2018 D2T3？真的假的？要上吗？

这题是 lca 上课讲的，我也就直接直接半途离线了，只能回来补了，悲

题意：给定长为 $n$ 的序列 $h$，有 $q$ 次询问，每次询问在 $[l,r]$ 内找一个点 $x$，使得 $[l,r]$ 内每个点到 $x$ 之间最大值的和（即 $\sum\limits_{i=l}^x\max\limits_{j=i}^xh_j+\sum\limits_{i=x+1}^r\max\limits_{j=x}^ih_j$）最小。$n,q\leqslant 750000,h\leqslant 10^9$ 。

注意到这道题是区间问题，考虑区间 DP，用区间中的最大值将区间分为两部分时，分类讨论开会点在最大值的左边或右边

我们知道，开会点不可能在最大值这里，因为这个肯定是不满足最优秀的

设 $f_{l,r}$ 表示表示区间 $[l,r]$ 中所有人参会的最小代价，其中最高点为 $x$

$$f_{l,r} = \min\{f_{l,x-1}\ + (r-x+1) \times h_x\ \ ,\ \ f_{x+1,r} + (x-l+1) \times h_x\}$$

转移方程如下，这个看起来就很优，但是状态是 $O(n^2)$ 的过不去

似乎优化不下去啊，这咋办。不慌，我们可以用笛卡尔树维护

现在我们将任意一个区间特化为了子树树根上的前后缀查询，考虑重设 DP 状态。

我们设 $f_{x,i}$ 表示 $x$ 子树内从最左端到 $i$ 号结点这段区间内所有人开会的最小总代价， $g_{x,i}$ 表示 $x$ 子树内从 $i$ 号结点到最右端这段区间内所有人开会的最小总代价。

如果 $i \in [L,x-1]$，是左区间的子问题。

$$\large f_{x,i} = f_{ls_x,i}$$

如果 $i = x$，多增加了一个点的代价，最高峰到左区间，代价恒为 $h_x$。

$$\large f_{x,i} = f_{ls_x,x-1} + h_x$$

如果 $i \in [x+1,R]$，需要分讨：开会点在左侧或开会点在右侧。

• 开会点在左侧，右侧所有点前往开会点必经最高峰，每个点贡献为 $h_x$。

$$\large f_{x,i} = f_{ls_x,x-1} + (i-x+1) \times h_x$$

• 开会点在右侧，左侧所有点前往开会点必经最高峰，每个点贡献为 $h_x$。

$$\large f_{x,i} = f_{rs_x,i} + (x-l+1) \times h_x$$

可以把 DP 数组放到线段树上，然后 $i_1,i_2$ 的情况就可以通过继承和单点赋值快速更新，但是 $i_3$ 操作有取最值操作，无法快速更新

$i_3$ 有一个很重要的性质：$i$ 越小，开会点在左侧所需代价一定越来越小，$i$ 越大，开会点在右侧所需代价也一定越来越小，拥有单调性。

二分找到这两条一次函数的交点，交点之前使用左侧的 DP 方程更新，交点之后使用右侧的 DP 方程更新。

P6717 [CCO2018] Boring Lectures

问题相当于求两个距离不大于 $k$ 的数对的和的最大值

我们把修改改为先删除再进行插入的操作，对于插入操作我们使用线段树在左端点维护每个区间的答案

维护区间最大的最大值+次大值，区间最值即可更新答案。

咋删？不好删，那么就不删，直接离线然后线段树分治即可

P4581 [BJOI2014] 想法

...？这啥神秘题目

一眼考虑随机化，这不随机化还能咋做，毕竟只需要以比较高的概率回答的比较准确即可。

我们首先考虑给每个入度为 $0$ 的点都随机赋予一个权值，，求出每个点能够返回到的入度为 $0$ 的点的最小权值，

权值的期望是 $\frac{\text{随机值域}}{k+1}$。

容易发现单次求的复杂度是 $\text O(n+m)$ 的，我们直接暴力求很多次然后取平均值即可。

李华与变色龙

• 原题：P8048 [COCI2015-2016#4] ENDOR

注意到 $k\le 40$，向左走的变色龙遇到向右走的变色龙后认为是变成了 $(a+b)\bmod k$，而向右走的变色龙颜色不变。

我们从右往左枚举每一只向右的变色龙，设两只中间的距离为 $val$，则答案（每个颜色）都要加上 $\frac{val}{2}\times a_i$，其中 $a_i$ 为颜色 $i$ 的向左的变色龙初始位置在当前枚举的向右的变色龙右边的数目。

这样复杂度 $O(nk)$ 可以通过。

Luogu Submission .

笑熬浆糊

• 原题：Fibonacci Strings

咕了先

饼干

容易发现无解当且仅当有一项大于总和的一半或者总和为奇数

找到众数去优先消，同时保证解的存在性不被破坏即可，可以通过本题

狂人日记

打表找规律发现 $q(n)=2^k-1$，注意到 $t \not = 2^s-1$ 时答案为 $0$，$s$ 为任意整数。问题转化为求 $[1,m]$ 中 popcount 为 $s$ 的 $x$ 的数量，枚举 $x$ 和 $m$ 的 LCP，这样的 $x$ 有 $\binom {n-j} {s-i}$ 个

倒卖文物

妈的这题面诗人握诗，出题人自己看得懂吗

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 种货币和为 $j$ 的方案数，设第 $i+1$ 种货币的面值为 $d_i$

可以发现一个性质：

• 如果 $j\not = m \pmod d_i$ 则 $j$ 用不到

因此我们设 $g_{i,j}$ 表示 $f_{i,\{m \bmod b_i\}+jd_i}$

我们让 $t_i$ 表示 $g_{i,j}$ 最后一个非零的 $j$ 则 $\sum t\le 20\sum b$，可以直接计算

这里需要证明，过程我不写了太墨迹

Constrained Nim

显然是博弈论，显然要用 SG 函数，没有限制的话显然对于 $SG(x_i)=x_i$。

那么加上限制之后会有若干个特殊点和若干段 $y=x+k$ 的一次函数。

没有限制的点值是前面的最大值加 $1$，而有限制的点可以考虑维护每个 $SG(x)$ 的出现次数，不断删掉被禁止的 $x$，找到最小的删没了的 $SG(x)$ 就是当前的 SG 值。

直接维护 $SG(x)$ 不行吗，但发现只维护特殊点的就行，其他地方均为 $1$。

汉谟拉比

虽然朴素分组背包理论不可过，但是卡常可过。

P10218 [省选联考 2024] 魔法手杖

魔怔题

看到最大化，想到贪心

从高到低确定每一位，首先决定这一位能不能是 $1$，同时维护变量 $ans$ 和 $x$。

对于 $a_i$ 只考虑已经决策过的位 $a_i\ \text{xor}\ x$ 或 $>ans$ 确定它到底属于 $S_1$ 还是 $S_2$，剩下的是 $=ans$ 的，可以发现这一部分在 trie 树上是一棵子树，递归求解。

假设当前是 $u$，下一位 $ans$ 选择 $1$，$x$ 也选择 $1$，则 $u$ 右子节点全部需要加到 $S_1$ 里面，需要判断 $b$ 的和是否超过 $m$，左子节点也需要递归解决，判断最坏情况下是否有解，即 $x$ 剩下的位都是 $1$，$ans$ 剩下的位都是 $0$ 是否满足 $\min_{a \in S_1}\{a+x\} \ge ans$。

$x$ 选择 $0$ 的情况是对称的，如果 $ans$ 下一位不可能选择 $1$，那就只有选择 $0$，

这个时候当 $x=1$ 的时候，$u$ 的左子树可以直接加入 $S_2$，右子树需要递归求解，$x=0$ 同理。

回転寿司

区间操作还有超大时限考虑分块。

观察发现一次询问的答案一定是 $[l,r]$ 内的最大值

考虑分块，为每个块都维护大根堆，遇到块时将 $A$ 加入当前块的堆，再将 $A$ 设为堆内最大值并弹出。

对于散块同时为每个块再维护一个小根堆代表块内询问的数，暴力重构堆即可。

取 $B = \sqrt{n}$ 即可，可以通过

P2490 [SDOI2011] 黑白棋